承德网站建设专家,wordpress页眉插件,企业自助网站建设,专门做期货的网站文章目录 整体文字提炼图像绘画 考点记忆/考点汇总——按大纲 本篇思路#xff1a;根据各方的资料#xff0c;比如名师的资料#xff0c;按大纲或者其他方式#xff0c;收集/汇总考点#xff0c;即需记忆点#xff0c;在通过整体的记忆法#xff0c;比如整体信息很多根据各方的资料比如名师的资料按大纲或者其他方式收集/汇总考点即需记忆点在通过整体的记忆法比如整体信息很多通常使用记忆宫殿法绘图记忆法进行记忆针对局部/细节/组成的部分可通过多种方法比如联想记忆法、理解记忆法等进行进一步记忆。 整体 整体使用记忆宫殿法和绘图记忆法等进行记忆 文字提炼 通过目录大纲法和重点归纳法等进行重要考点的提炼串联 函数、方程、不等式【函数核心在于图像图像又涉及交点方程核心在于根】 第一从一元二次函数、方程、不等式出发因为三者知识点最多且互有关联 1.对于一元二次函数 【固定做题法 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 一看开口方向注意自然语言的表达以决定对二次项系数a是否等于0进行分类讨论二次函数二次方程二次不等式抛物线默认a≠0函数方程不等式需要对a是否等于0进行分类讨论 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 二看判别式 △ b 2 − 4 a c △b^2-4ac △b2−4ac ⟹ \Longrightarrow ⟹ 三看对称轴 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab ⟹ \Longrightarrow ⟹ 四看交点值顶点坐标 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。当 △ b 2 − 4 a c 0 △b^2-4ac0 △b2−4ac0时函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0)则 ∣ M 1 M 2 ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣ △ ∣ a ∣ |M_1M_2||x_1-x_2|\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣M1M2∣∣x1−x2∣∣a∣△ 。 】
图像绘画 记忆宫殿法的记忆桩来存放一二级目录绘图记忆法记忆细节等。 床尾游泳池 U型泳池放置一元二次函数 泳池上部分有颗苹果 泳池下部有着顶点一边是对称轴一边是y最值。
考点
通过汇总各方大佬资料作为收集考点/记忆点的信息输入XX收集汇总如下 汇总考点的必要或者说汇总记忆的内容的必要不言而喻首先你要记忆东西得有东西所以你要梳理出你需要记忆的全部东西其次在收集多个大佬的梳理的考点又可以找出各条逻辑帮助记忆考点所以梳理考点是很有必要的是记忆的基础是记忆宫殿里面的物品是我们最后考试需要去找到的解题物品。 记忆/考点汇总——按大纲
——一元二次函数——【图像→交点】 ——【 a x 2 b x c y ax^2bxcy ax2bxcy二次函数核心在于“图像”整体可以由 图像形状上下交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ △ △ △ ⟹ \Longrightarrow ⟹ 抛物线与x轴交点 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 交点图形】 ——【固定做题法 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 一看开口方向注意自然语言的表达以决定对二次项系数a是否等于0进行分类讨论二次函数二次方程二次不等式抛物线默认a≠0函数方程不等式需要对a是否等于0进行分类讨论 ⟹ \Longrightarrow ⟹ 二看判别式 △ b 2 − 4 a c △b^2-4ac △b2−4ac ⟹ \Longrightarrow ⟹ 三看对称轴 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab ⟹ \Longrightarrow ⟹ 四看交点值顶点坐标 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。当 △ b 2 − 4 a c 0 △b^2-4ac0 △b2−4ac0时函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0)则 ∣ M 1 M 2 ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣ △ ∣ a ∣ |M_1M_2||x_1-x_2|\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣M1M2∣∣x1−x2∣∣a∣△ 。】 1.三种函数形式 一般式 y a x 2 b x c ( a ≠ 0 ) yax^2bxc(a≠0) yax2bxc(a0) 配方式/顶点式 y a ( x b 2 a ) 2 4 a c − b 2 4 a ya(x\frac{b}{2a})^2\frac{4ac-b^2}{4a} ya(x2ab)24a4ac−b2对称轴为 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab顶点坐标为 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2) 两根/零点式 y a ( x − x 1 ) ( x − x 2 ) ya(x-x_1)(x-x_2) ya(x−x1)(x−x2) x 1 , x 2 x_1,x_2 x1,x2是函数的两个根对称轴为 x x 1 x 2 2 x\frac{x_1x_2}{2} x2x1x2
2.图像特点 图像形状二次函数 y a x 2 b x c ( a ≠ 0 ) yax^2bxc(a≠0) yax2bxc(a0)的图像是一条抛物线。——【图像的全身】 开口方向由a决定当a0时抛物线开口向上当a0时抛物线开口向下。——【图像的嘴巴】 对称轴以 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab为对称轴。——【图像的比例】 顶点坐标 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。——【图像的头部】 y轴截距cc决定抛物线与y轴交点的位置影响顶点高度。 定义域一般隐藏在判别式大于等于零中。 最值当a0a0时有最小大值 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2无最大小值。——【需验证对称轴是否在定义域内在则可套用顶点坐标求最值】 单调性当a0时抛物线开口向上函数在 ( − ∞ , − b 2 a ] (-∞,-\frac{b}{2a}] (−∞,−2ab]上递减在 [ − b 2 a , ∞ ) [-\frac{b}{2a},∞) [−2ab,∞)上递增当 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab时 f ( x ) m i n 4 a c − b 2 4 a f(x)_{min}\frac{4ac-b^2}{4a} f(x)min4a4ac−b2当 a 0 a0 a0时抛物线开口向下函数在 ( − ∞ , − b 2 a ] (-∞,-\frac{b}{2a}] (−∞,−2ab]上递增在 [ − b 2 a , ∞ ) [-\frac{b}{2a},∞) [−2ab,∞)上递减当 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab时 f ( x ) m a x 4 a c − b 2 4 a f(x)_{max}\frac{4ac-b^2}{4a} f(x)max4a4ac−b2。——【】 交点图像当 △ b 2 − 4 a c 0 △b^2-4ac0 △b2−4ac0时函数图象与x轴有两个不同的交点 M 1 ( x 1 , 0 ) , M 2 ( x 2 , 0 ) M_1(x_1,0),M_2(x_2,0) M1(x1,0),M2(x2,0)则 ∣ M 1 M 2 ∣ ∣ x 1 − x 2 ∣ △ ∣ a ∣ |M_1M_2||x_1-x_2|\frac{\sqrt{△}}{|a|} ∣M1M2∣∣x1−x2∣∣a∣△ 。——【图像的内部】
3.参数含义二次函数 y a x 2 b x c ( a ≠ 0 ) yax^2bxc(a≠0) yax2bxc(a0) a当a0a0时有最小大值 4 a c − b 2 4 a \frac{4ac-b^2}{4a} 4a4ac−b2无最大小值。 b影响对称轴位置因以 x − b 2 a x-\frac{b}{2a} x−2ab为对称轴。——【a,b决定对称轴的位置】 c代表图像在y轴上的截距纵截距影响顶点高度因顶点坐标为 ( − b 2 a , 4 a c − b 2 4 a ) (-\frac{b}{2a},\frac{4ac-b^2}{4a}) (−2ab,4a4ac−b2)。
4.图像与x轴的位置 已知函数 y a x 2 b x c yax^2bxc yax2bxc与x轴交点的个数可知 1若函数与x轴有2个交点则 a ≠ 0 和△ b 2 − 4 a c 0 a≠0和△b^2-4ac0 a0和△b2−4ac0——【【易错点】此类题易忘掉一元二次函数方程、不等式的二次项系数不能为0。要使用 △ b 2 − 4 a c △b^2-4ac △b2−4ac必先看二次项系数是否为0。】 2若函数与x轴有1个交点即抛物线与x轴相切或图像是一条直线则 a ≠ 0 和△ b 2 − 4 a c 0 a≠0和△b^2-4ac0 a0和△b2−4ac0或 a 0 和 b ≠ 0 a0和b≠0 a0和b0 3若函数与轴没有交点则 a ≠ 0 和△ b 2 − 4 a c 0 a≠0和△b^2-4ac0 a0和△b2−4ac0或 a b 0 和 c ≠ 0 ab0和c≠0 ab0和c0。 4图像始终位于x轴上方则 a 0 和△ b 2 − 4 a c 0 a0和△b^2-4ac0 a0和△b2−4ac0 5图像始终位于x轴下方则 a 0 和△ b 2 − 4 a c 0 a0和△b^2-4ac0 a0和△b2−4ac0
5.图像与一次函数的交点 二次函数 y a x 2 b x c yax^2bxc yax2bxc与一次函数 y k x m ykxm ykxm的交点情况有三种利用数形结合思想令两函数值相等得到新的一元二次方程 a x 2 b x c − ( k x m ) 0 ax^2bxc-(kxm)0 ax2bxc−(kxm)0。 12个交点新的一元二次方程 △ 0 △0 △0。 21个交点①一次函数与二次函致相切新的一元二次方程 △ 0 △0 △0。特别地在顶点处相切时 k 0 k0 k0一次函数为 y 4 a c − b 2 4 a y\frac{4ac-b^2}{4a} y4a4ac−b2。②一次函数垂直于x轴k不存在。 30个交点新的一元二次方程 △ 0 △0 △0。
6.特殊的抛物线 y a x 2 b x c ( a ≠ 0 ) yax^2bxc(a≠0) yax2bxc(a0) 1若 b 0 b 0 b0则 y a x 2 c yax^2c yax2c抛物线的对称轴为y轴。 2若c 0则 y a x 2 b x yax^2bx yax2bx抛物线过原点。 3若 b c 0 bc0 bc0则 y a x 2 y ax^2 yax2抛物线的对称轴为y轴且过原点。
——其他函数——【记图像可辅助记忆性质】 正比例函数 y k x ( k ≠ 0 ) ykx(k≠0) ykx(k0)定义域为 R R R值域为 R R R单调性为 k 0 k0 k0时单调递增 k 0 k0 k0时单调递减图像是“一条直线”。 反比例函数 y k x ( k 为常数 k ≠ 0 ) y\frac{k}{x}(k为常数k≠0) yxk(k为常数k0)定义域为{ x ∣ x ≠ 0 x|x≠0 x∣x0}单调性为k0时在区间 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , ∞ ) (-∞,0),(0,∞) (−∞,0),(0,∞)上单调递减k0时在区间 ( − ∞ , 0 ) , ( 0 , ∞ ) (-∞,0),(0,∞) (−∞,0),(0,∞)上单调递增值域为{ y ∣ y ≠ 0 y|y≠0 y∣y0}图像是“两条圆心对称的圆弧”。 对勾函数 y x 1 x yx\frac{1}{x} yxx1定义域为{ x ∣ x ≠ 0 x|x≠0 x∣x0}值域为 ( − ∞ , − 2 ) ∪ ( 2 , ∞ ) (-∞,-2)∪(2,∞) (−∞,−2)∪(2,∞)单调性为在区间 ( − ∞ , − 1 ) , ( 1 , ∞ ) (-∞,-1),(1,∞) (−∞,−1),(1,∞)上单调递增在区间 ( − 1 , 0 ) , ( 0 , 1 ) (-1,0),(0,1) (−1,0),(0,1)上单调递减图像是“两条圆心对称的耐特勾”。 指数函数 y a x ( a 0 , a ≠ 1 ) ya^x(a0,a≠1) yax(a0,a1)定义域为 ( − ∞ , ∞ ) (-∞,∞) (−∞,∞)值域 ( 0 , ∞ ) (0,∞) (0,∞)单调性为当 a 1 a1 a1时是增函数当 0 a 1 0a1 0a1时是减函数。图像恒过点 ( 0 , 1 ) 是“一条弧线” (0,1)是“一条弧线” (0,1)是“一条弧线”。——【 a 0 a0 a0和 0 a 1 0a1 0a1两图像形成交叉于 ( 0 , 1 ) (0,1) (0,1)的文字yi乂】——【指数函数的重点有两部分一部分是图像性质往往会涉及利用单调性比大小。另一部分是运算性质考生需要牢记指数函数的运算公式。】 对数函数 y l o g a x ( a 0 且 a ≠ 1 ) ylog_ax(a0且a≠1) ylogax(a0且a1)定义域为 ( 0 , ∞ ) (0,∞) (0,∞)值域 全体实数 R 全体实数R 全体实数R单调性为当 a 1 a1 a1时是增函数当 0 a 1 0a1 0a1时是减函数。图像恒过点 ( 1 , 0 ) 是“一条弧线” (1,0)是“一条弧线” (1,0)是“一条弧线”。它与 y a x ya^x yax互为反函数。——【 a 0 a0 a0和 0 a 1 0a1 0a1两图像形成交叉于 ( 1 , 0 ) (1,0) (1,0)的躺着的文字yi乂】——【对数函数的重点有两部分一部分是图像性质往往会涉及利用单调性比大小。另一部分是运算性质考生需要牢记对数函数的运算公式。此外对数函数有一个最容易设置陷阱的地方就是在对数函数中要求真数部分恒大于0。】 反函数同底的指数函数 y a x ya^x yax与对数函数 y l o g a x ylog_ax ylogax互为反函数。 指数运算 a m ⋅ a n a m n a^m·a^na^{mn} am⋅anamn a m ÷ a n a m − n a^m÷a^na^{m-n} am÷anam−n ( a m ) n a m n (a^m)na^{mn} (am)namn a 0 1 a^01 a01 a − n 1 a n a^{-n}\frac{1}{a^n} a−nan1 a m n a m n a^{\frac{m}{n}}\sqrt[n]{a^m} anmnam ——【指数函数重点图像运算】 对数运算当 a 0 a0 a0且 a ≠ 1 a≠1 a1时 m 0 m0 m0 n 0 n0 n0则 l o g 底 真 log_底真 log底真——【乘除变加减指数提到前】 指对互换 a b N a^bN abN ⟺ \Longleftrightarrow ⟺ l o g a N b ( a 0 a ≠ 1 N 0 ) log_aNb(a0a≠1N0) logaNb(a0a1N0) 同底对数 l o g a M l o g a N l o g a ( M N ) log_aMlog_aNlog_a(MN) logaMlogaNloga(MN) 同底对数 l o g a M − l o g a N l o g a ( M N ) log_aM-log_aNlog_a(\frac{M}{N}) logaM−logaNloga(NM) 幂运算 l o g a m b n n m l o g a b log_{a^m}b^n\frac{n}{m}log_ab logambnmnlogab m 1 m1 m1时 l o g a b n n l o g a b log_ab^nnlog_ab logabnnlogab m n mn mn时 l o g a m b n l o g a b log_{a^m}b^nlog_ab logambnlogab l o g a M n 1 n l o g a M log_a\sqrt[n]{M}\frac{1}{n}log_aM loganM n1logaM 换底公式 l o g a b l o g c b l o g c a l g b l g a l n b l n a log_ab\frac{log_cb}{log_ca}\frac{lgb}{lga}\frac{lnb}{lna} logablogcalogcblgalgblnalnb l o g a b 1 l o g b a log_ab\frac{1}{log_ba} logablogba1 l o g a M l o g b M ÷ l o g b a ( b 0 且 b ≠ 1 ) log_aMlog_bM÷log_ba(b0且b≠1) logaMlogbM÷logba(b0且b1)一般c取10或e。——【换底公式真数在上底数在下】 常用对数以10为底的对数 l o g 10 N log_{10}N log10N简记为 l g N lgN lgN 自然对数以无理数ee2.71828…为底的对数 l o g e N log_eN logeN简记为 l n N lnN lnN。 特殊对数 l o g a 1 0 log_a10 loga10 l o g a a 1 log_aa1 logaa1 l o g a b ⋅ l o g b a 1 log_ab·log_ba1 logab⋅logba1负数和零没有对数 a l o g a b b a^{log_ab}b alogabb l o g a a s s log_aa^ss logaass——【 a l o g a b b a^{log_ab}b alogabb】 最值函数 最大值函数 m a x max max{ x , y , z x,y,z x,y,z}表示 x , y , z x,y,z x,y,z中最大的数本质为 m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ a ≥a ≥a且 m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ b ≥b ≥b且 m a x max max{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≥ c ≥c ≥c。对于函数而言 m a x max max{ f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)}表示各函数图像中最高的部分。 最小值函数 m i n min min{ x , y , z x,y,z x,y,z}表示 x , y , z x,y,z x,y,z中最小的数。本质为 m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ a ≤a ≤a且 m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ b ≤b ≤b且 m i n min min{ a , b , c a,b,c a,b,c} ≤ c ≤c ≤c。对于函数而言 m i n min min{ f ( x ) , g ( x ) f(x),g(x) f(x),g(x)}表示各函数图像中最低的部分。 对于max函数图像先画出各函数图像然后取图像位于上方部分对于min函数图像先画出各函数图像然后取图像位于下方部分。 绝对值函数 y ∣ a x b ∣ y|axb| y∣axb∣先画 y a x b yaxb yaxb的图像再将x轴下方的图像翻到x轴上方。 y ∣ a x 2 b x c ∣ y|ax^2bxc| y∣ax2bxc∣的图像再将x轴下方的图像翻到x轴上方。 y a x 2 b ∣ x ∣ c yax^2b|x|c yax2b∣x∣c先画 y a x 2 b x c yax^2bxc yax2bxc的图像再将y轴左侧图像删掉替换成y轴右侧对称过来的图像。 ∣ a x b y ∣ c b |axby|cb ∣axby∣cb表示两条平行的直线 a x b y ± c axby±c axby±c且两者关于原点对称。 ∣ a x ∣ ∣ b y ∣ c |ax||by|c ∣ax∣∣by∣c当 a b ab ab时表示正方形当 a ≠ b a≠b ab时表示菱形。 ∣ x y ∣ a b a ∣ x ∣ b ∣ y ∣ |xy|aba|x|b|y| ∣xy∣aba∣x∣b∣y∣ ∣ x y ∣ a b a ∣ x ∣ b ∣ y ∣ |xy|aba|x|b|y| ∣xy∣aba∣x∣b∣y∣ ⟹ \Longrightarrow ⟹ ∣ x y ∣ − a ∣ x ∣ − b ∣ y ∣ a b 0 |xy|-a|x|-b|y|ab0 ∣xy∣−a∣x∣−b∣y∣ab0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ∣ x ∣ ( ∣ y ∣ − a ) − b ( ∣ y ∣ − a ) 0 |x|(|y|-a)-b(|y|-a)0 ∣x∣(∣y∣−a)−b(∣y∣−a)0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ( ∣ x ∣ − b ) ( ∣ y ∣ − a ) 0 (|x|-b)(|y|-a)0 (∣x∣−b)(∣y∣−a)0 ⟹ \Longrightarrow ⟹ ∣ x ∣ b |x|b ∣x∣b或 ∣ y ∣ a |y|a ∣y∣a 故表示由 x ± b , y ± a x±b,y±a x±b,y±a围成的图形当 a b ab ab时表示正方形当 a ≠ b a≠b ab时表示矩形。 y ∣ f ( x ) ∣ y|f(x)| y∣f(x)∣上翻下型先画 y f ( x ) yf(x) yf(x)图像再将图像位于x轴下方的部分翻到x轴上方。 y f ( ∣ x ∣ ) yf(|x|) yf(∣x∣)右翻左型先画 y f ( x ) yf(x) yf(x)的图像保留y轴右侧部分再将右侧的部分翻转到y轴左侧。
分段函数 分段函数对于其定义域内的自变量x的不同值不能用一个统一的解析式表示而是要用两个或两个以上的式子表示。分段函数表示不同的取值范围对应不同的表达式。对于分段函数根据不同取值区间选择不同的表达式代入求解。 模型识别自变量在不同取值范围内有不同的对应法则。 解题方法求分段函数的函数值 f ( x 0 ) f(x_0) f(x0)时应该首先判断 x 0 x_0 x0所属的取值范围然后把 x 0 x_0 x0代入到相应的解析式中进行计算。 思路分段函数是指自变量在两个或两个以上不同的范围内有不同的对应法则的函数。它是一个函数是一类表达形式特殊的函数却又常常被学生误认为是几个函数。它的定义城是各段函数定义域的并集其值域也是各段函数值城的并集。分段函数有关问题蕴含着分类讨论、数形结合等思想方法。分段函数应用较广做题时要根据范围来确定对应的表达式。
复合函数 1定义已知函数 y f ( u ) yf(u) yf(u)又 u g ( x ) ug(x) ug(x)则称函数 y f ( g ( x ) ) yf(g(x)) yf(g(x))为函数 y f ( u ) y f(u) yf(u)与 u g ( x ) u g(x) ug(x)的复合函数。其中y称为因变量x称为自变量u称为中间变量。 2求复合函数的定义域 ①复合函数的定义域是函数 y f [ g ( x ) ] yf[g(x)] yf[g(x)]中x的取值范围 ②若函数 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 ( a , b ) (a,b) (a,b)则复合函数 y f [ g ( x ) ] yf[g(x)] yf[g(x)]的定义域由 a g ( x ) b ag(x)b ag(x)b求出 ③若函数 y f [ g ( x ) ] yf[g(x)] yf[g(x)]的定义域为 ( a , b ) (a,b) (a,b)则 f ( x ) f(x) f(x)的定义域为 g ( x ) g(x) g(x)在 a x b axb axb上的值域。 注意 g ( x ) g(x) g(x)的值域对应 y f ( u ) yf(u) yf(u)的定义域。对于复合函数可以将内部的函数看成一个整体进行分析。此外内部函数的值域对应外部函数的定义域。 3复合函数的单调性——【同增异减】 奇偶函数 ① 奇函数的性质 定义域关于原点对称图像关于原点对称 f ( − x ) − f ( x ) f(-x)-f(x) f(−x)−f(x) ② 偶函数的性质 定义域关于原点对称图像关于y轴对称 f ( − x ) f ( x ) f(-x)f(x) f(−x)f(x)
反比例函数 y k x ( k ≠ 0 ) y\frac{k}{x}(k≠0) yxk(k0) 在一个反比例函数图像上任取一点过该点分别作x轴y轴的平行线与坐标轴围成的矩形面积为 ∣ k ∣ |k| ∣k∣。
