做相册哪个网站好用吗,彭阳网站建设多少钱,如何做影视网站,wordpress 安全问题文章目录 行列式二阶行列式 n n n 阶行列式行列式的性质克拉默法则行列式的几何理解 行列式
二阶行列式
行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组 { a 11 x 1 a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 \begin{cases} a_{11}x_1a_{12}x_2b_1 \\ a_{21}x_… 文章目录 行列式二阶行列式 n n n 阶行列式行列式的性质克拉默法则行列式的几何理解 行列式
二阶行列式
行列式引自对线性方程组的求解。考虑两个方程的二元线性方程组 { a 11 x 1 a 12 x 2 b 1 a 21 x 1 a 22 x 2 b 2 \begin{cases} a_{11}x_1a_{12}x_2b_1 \\ a_{21}x_1a_{22}x_2b_2 \end{cases} {a11x1a12x2b1a21x1a22x2b2 可使用消元法得 ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 1 b 1 a 22 − a 12 b 2 ( a 11 a 22 − a 12 a 21 ) x 2 a 11 b 2 − b 1 a 21 (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_1b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ (a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})x_2a_{11}b_2-b_1a_{21} (a11a22−a12a21)x1b1a22−a12b2(a11a22−a12a21)x2a11b2−b1a21 当 a 11 a 22 − a 12 a 21 ≠ 0 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}\neq 0 a11a22−a12a210 时得 x 1 b 1 a 22 − a 12 b 2 a 11 a 22 − a 12 a 21 , x 2 a 11 b 2 − b 1 a 21 a 11 a 22 − a 12 a 21 x_1\frac{b_1a_{22}-a_{12}b_2}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}},\quad x_2\frac{a_{11}b_2-b_1a_{21}}{a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21}} x1a11a22−a12a21b1a22−a12b2,x2a11a22−a12a21a11b2−b1a21 从方程组解来看分母 a 11 a 22 − a 12 a 21 a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a22−a12a21 是系数矩阵 A [ a 11 a 12 a 21 a 22 ] A\begin{bmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{bmatrix} A[a11a21a12a22] 的元素计算得到称这个值为矩阵 A A A 的二阶行列式(determinant)记为 det A \det A detA 或 ∣ A ∣ |A| ∣A∣ 或记为数表形式 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ a 11 a 22 − a 12 a 21 \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22} \end{vmatrix}a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21} a11a21a12a22 a11a22−a12a21 利用二阶行列式的概念分子也可写为二阶行列式 det A 1 ∣ b 1 a 12 b 2 a 22 ∣ b 1 a 22 − a 12 b 2 det A 2 ∣ a 11 b 1 a 21 b 2 ∣ a 11 b 2 − b 1 a 21 \det A_1\begin{vmatrix} b_1 a_{12} \\ b_2 a_{22}\end{vmatrix}b_1a_{22}-a_{12}b_2 \\ \det A_2\begin{vmatrix} a_{11} b_1 \\ a_{21} b_2\end{vmatrix}a_{11}b_2-b_1a_{21} detA1 b1b2a12a22 b1a22−a12b2detA2 a11a21b1b2 a11b2−b1a21 从上面对比可以看出 x j x_j xj 的矩阵 A j A_j Aj 是系数矩阵 A A A的第 j j j 列用常数项代替后的矩阵。这样方程组的解可表示为 x 1 det A 1 det A , x 2 det A 2 det A x_1\frac{\det A_1}{\det A},\quad x_2\frac{\det A_2}{\det A} x1detAdetA1,x2detAdetA2 n n n 阶行列式
考虑三个方程的三元线性方程组系数矩阵为 A [ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ] A\begin{bmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\a_{31} a_{32} a_{33}\end{bmatrix} A a11a21a31a12a22a32a13a23a33 用消元法可知未知数的分母同样是系数矩阵 A A A 的元素运算得到于是定义三阶行列式为 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ a 11 a 22 a 33 a 12 a 23 a 31 a 13 a 21 a 32 − a 11 a 23 a 32 − a 12 a 21 a 33 − a 13 a 22 a 31 \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\a_{31} a_{32} a_{33}\end{vmatrix} a_{11}a_{22}a_{33}a_{12}a_{23}a_{31}a_{13}a_{21}a_{32} -a_{11}a_{23}a_{32}-a_{12}a_{21}a_{33}-a_{13}a_{22}a_{31} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11a22a33a12a23a31a13a21a32−a11a23a32−a12a21a33−a13a22a31 由二阶行列式的定义上式可变为 ∣ a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 ∣ a 11 ∣ a 22 a 23 a 32 a 33 ∣ − a 12 ∣ a 21 a 23 a 31 a 33 ∣ a 13 ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ \begin{vmatrix} a_{11} a_{12} a_{13} \\ a_{21} a_{22} a_{23} \\a_{31} a_{32} a_{33}\end{vmatrix} a_{11}\begin{vmatrix} a_{22} a_{23} \\ a_{32} a_{33}\end{vmatrix}- a_{12}\begin{vmatrix} a_{21} a_{23} \\ a_{31} a_{33}\end{vmatrix} a_{13}\begin{vmatrix} a_{11} a_{12} \\ a_{21} a_{22}\end{vmatrix} a11a21a31a12a22a32a13a23a33 a11 a22a32a23a33 −a12 a21a31a23a33 a13 a11a21a12a22 进一步探索 n n n 元线性方程组可知高阶行列式定义。为书写方便把元素 a i j a_{ij} aij 所在的行和列划掉后剩下的元素组成的行列式称为 a i j a_{ij} aij 的余子式(cofactor)记作 M i j M_{ij} Mij 并称 A i j ( − 1 ) i j M i j A_{ij}(-1)^{ij}M_{ij} Aij(−1)ijMij 为 a i j a_{ij} aij 的代数余子式(algebraic cofactor)。
定义方阵 A A A 的行列式用第一行元素的代数余子式定义为 det A ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ ∑ j 1 n a 1 j A 1 j \det A\begin{vmatrix} a_{11}a_{12}\cdotsa_{1n} \\ a_{21}a_{22}\cdotsa_{2n} \\ \vdots\vdots\ddots\vdots \\ a_{n1}a_{n2}\cdotsa_{nn} \\ \end{vmatrix}\sum_{j1}^na_{1j}A_{1j} detA a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋱⋯a1na2n⋮ann j1∑na1jA1j 由定义易知行列式可以按任意行(列)展开。 det A ∑ j 1 n a i j A i j , by row i det A ∑ i 1 n a i j A i j , by col j \det A\sum_{j1}^na_{ij}A_{ij}, \quad \text{by row }i \\ \det A\sum_{i1}^na_{ij}A_{ij}, \quad \text{by col }j detAj1∑naijAij,by row idetAi1∑naijAij,by col j
行列式的性质
性质使用数学归纳法可知
行列式与其转置行列式相等 det A T det A \det A^T\det A detATdetA互换行列式两行(列)行列式改变符号。 ∣ a b c d ∣ − ∣ c d a b ∣ \begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}-\begin{vmatrix}cd\\ab\end{vmatrix} acbd − cadb 行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 k k k等于数 k k k乘以该行列式。 ∣ k a b k c d ∣ k ∣ a b c d ∣ \begin{vmatrix}kab\\kcd\end{vmatrix}k\begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix} kakcbd k acbd 若行列式的某一行(列)的为两组数之和则可表示为两行列式之和。 ∣ a 1 a 2 b c 1 c 2 d ∣ ∣ a 1 b c 1 d ∣ ∣ a 2 b c 2 d ∣ \begin{vmatrix}a_1a_2b\\c_1c_2d\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_1b\\c_1d\end{vmatrix}\begin{vmatrix}a_2b\\c_2d\end{vmatrix} a1a2c1c2bd a1c1bd a2c2bd 把行列式的某一行(列)所有元素同乘以数 k k k 都加到另一行(列)对应的元素上去行列式的值不变。 ∣ a b c d ∣ ∣ a k b b c k d d ∣ \begin{vmatrix}ab\\cd\end{vmatrix}\begin{vmatrix}akbb\\ckdd\end{vmatrix} acbd akbckdbd 矩阵乘积的行列式等于行列式的乘积 det ( A B ) ( det A ) ( det B ) det ( B A ) \det(AB)(\det A)(\det B)\det(BA) det(AB)(detA)(detB)det(BA)
推论
行列式中若有两行(列)元素相同该行列式的值为零。行列式中某一行(列)的公因子可以提取到行列式符号外面。行列式中若有两行(列)元素成比例则此行列式等于零。 det ( k A ) k n det A \det(kA)k^n\det A det(kA)kndetA
由上面的性质我们很容易得到
出现零行和零列的行列式为零。对角阵 A diag ( λ 1 , λ 2 , ⋯ , λ n ) A\text{diag}(\lambda_1,\lambda_2,\cdots,\lambda_n) Adiag(λ1,λ2,⋯,λn) 的行列式 det A λ 1 λ 2 ⋯ λ n \det A\lambda_1\lambda_2\cdots\lambda_n detAλ1λ2⋯λn 。如果 A A A 是三角阵行列式为主对角线元素的乘积。
对于高阶行列式一般利用行列式的性质初等变换化为三角行列式求解。
示例可用数学归纳法证明范德蒙行列式(Vandermonde determinant) ∣ 1 1 ⋯ 1 a 1 a 2 ⋯ a n a 1 2 a 2 2 ⋯ a n 2 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a 1 n − 1 a 2 n − 1 ⋯ a n n − 1 ∣ ∏ 1 ⩽ i j ⩽ n ( a j − a i ) \begin{vmatrix} 1 1 \cdots 1 \\ a_1 a_2\cdots a_n \\ a_1^2 a_2^2\cdots a_n^2 \\ \vdots \vdots\vdots \vdots \\ a_1^{n-1} a_2^{n-1}\cdots a_n^{n-1} \end{vmatrix}\prod_{1⩽ ij⩽n}(a_j-a_i) 1a1a12⋮a1n−11a2a22⋮a2n−1⋯⋯⋯⋮⋯1anan2⋮ann−1 1⩽ij⩽n∏(aj−ai)
行列式函数若 A A A 为 n n n阶矩 阵可以将 det A \det A detA 看作 A A A 中 n n n 个列向量的函数。若 A A A 中除了一列之外都是固定的向量则 det A \det A detA 是线性函数。
假设第 j j j 列是变量定义映射 x ↦ T ( x ) \mathbf x\mapsto T(\mathbf x) x↦T(x) 为 T ( x ) det A det [ a 1 ⋯ x ⋯ a n ] T(\mathbf x)\det A\det\begin{bmatrix}\mathbf a_1\cdots\mathbf x\cdots\mathbf a_n\end{bmatrix} T(x)detAdet[a1⋯x⋯an] 则有 T ( c x ) c T ( x ) T ( u v ) T ( u ) T ( v ) T(c\mathbf x)cT(\mathbf x) \\ T(\mathbf u\mathbf v)T(\mathbf u)T(\mathbf v) T(cx)cT(x)T(uv)T(u)T(v)
克拉默法则
这里只讨论方程个数和未知数相等的 n n n元线性方程组 A x b A\mathbf x\mathbf b Axb 若 det A ≠ 0 \det A\neq0 detA0那么它有唯一解 x j det A j ( b ) det A , ( j 1 , 2 , ⋯ , n ) x_j\frac{\det A_j(\mathbf b)}{\det A},\quad(j1,2,\cdots,n) xjdetAdetAj(b),(j1,2,⋯,n) 约定 A j ( b ) A_j(\mathbf b) Aj(b) 表示用向量 b \mathbf b b 替换矩阵 A A A的第 j j j列。 证用 a 1 , a 2 , ⋯ , a n \mathbf a_1,\mathbf a_2,\cdots,\mathbf a_n a1,a2,⋯,an 表示矩阵 A A A 的各列 e 1 , e 2 , ⋯ , e n \mathbf e_1,\mathbf e_2,\cdots,\mathbf e_n e1,e2,⋯,en 表示单位阵 I n I_n In 的各列。由分块矩阵乘法 A I j ( x ) A [ e 1 ⋯ x ⋯ e n ] [ A e 1 ⋯ A x ⋯ A e n ] [ a 1 ⋯ b ⋯ a n ] A j ( b ) \begin{aligned} AI_j(\mathbf x)A\begin{bmatrix}\mathbf e_1\cdots\mathbf x\cdots\mathbf e_n\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}A\mathbf e_1\cdots A\mathbf x\cdots A\mathbf e_n\end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix}\mathbf a_1\cdots\mathbf b\cdots\mathbf a_n\end{bmatrix} \\ A_j(\mathbf b) \end{aligned} AIj(x)A[e1⋯x⋯en][Ae1⋯Ax⋯Aen][a1⋯b⋯an]Aj(b) 由行列式的乘法性质 det A det I j ( x ) det A j ( b ) \det A\det I_j(\mathbf x)\det A_j(\mathbf b) detAdetIj(x)detAj(b) 左边第二个行列式可沿第 j j j 列余子式展开求得 det I j ( x ) x j \det I_j(\mathbf x)x_j detIj(x)xj。从而 x j det A det A j ( b ) x_j\det A\det A_j(\mathbf b) xjdetAdetAj(b) 若 det A ≠ 0 \det A\neq0 detA0则上式得证。
行列式的几何理解 Grant行列式告诉你一个线性变换对区域的缩放比例。 我们已经知道线性变换保持网格线平行且等距。为了方便我们只考虑在平面直角坐标系内单位基向量 i , j \mathbf i,\mathbf j i,j 所围成的单位正方形区域的线性变换。
根据向量加法的平行四边形法则和线性变换基本性质知变换后的区域为矩阵 A [ a b c d ] A\begin{bmatrix}a b\\c d\end{bmatrix} A[acbd] 的列向量 [ a c ] \begin{bmatrix}a\\c\end{bmatrix} [ac] 和 [ b d ] \begin{bmatrix}b\\d\end{bmatrix} [bd] 为邻边的平行四边形区域。
结论二阶行列式的值表示由 A A A 的列确定的有向平行四边形的面积。
(1) 若 A A A 为对角阵显然行列式 det [ a b 0 d ] \det\begin{bmatrix}a b\\0 d\end{bmatrix} det[a0bd] 表示底为 a a a高为 d d d 的平行四边形面积 (2) 更一般的情况 A [ a b c d ] A\begin{bmatrix}a b\\c d\end{bmatrix} A[acbd] 可以看出行列式的值与面积有着紧密的联系。 (3) 矩阵 [ a 2 a a 1 ] \begin{bmatrix}a^2 a\\a 1\end{bmatrix} [a2aa1] 表示将单位正方形压缩成线段面积自然为0行列式的值为0 单位正方形区域缩放的比例其实可以代表任意给定区域缩放的比例。这是因为线性变换保持网格线平行且等距。对于空间中任意区域的面积借助微积分的思想我们可以采用足够的小方格来逼近区域的面积对所有小方格等比例缩放则整个区域也以同样的比例缩放。 volume T ( Ω ) ( det T ) ( volume Ω ) \text{volume }T(\Omega) (\det T)(\text{volume }\Omega) volume T(Ω)(detT)(volume Ω)
通过行列式的几何意义我们就建立了线性变换、矩阵、行列式之间的关系。不难得出
复合线性变换缩放的比例相当于每次变换缩放比例的乘积即 det A B det A det B \det AB\det A\det B detABdetAdetB行列式的值为零表示将空间压缩到更低的维度矩阵的列向量线性相关
