平面设计培训班学费一般多少钱,建站seo是什么,wordpress菜单链接,网站建设的书 推荐抽象地说#xff0c;解决一个回溯问题#xff0c;实际上就是遍历一棵决策树的过程#xff0c;树的每个叶子节点存放着一个合法答案。你把整棵树遍历一遍#xff0c;把叶子节点上的答案都收集起来#xff0c;就能得到所有的合法答案。站在回溯树的一个节点上#xff0c;你…抽象地说解决一个回溯问题实际上就是遍历一棵决策树的过程树的每个叶子节点存放着一个合法答案。你把整棵树遍历一遍把叶子节点上的答案都收集起来就能得到所有的合法答案。站在回溯树的一个节点上你只需要思考 3 个问题
路径也就是已经做出的选择。选择列表也就是你当前可以做的选择。结束条件也就是到达决策树底层无法再做选择的条件。
回溯算法的框架
回溯算法框架代码
以下就是回溯算法的框架代码
result []
def backtrack(路径, 选择列表):if 满足结束条件:result.add(路径)returnfor 选择 in 选择列表:做选择backtrack(路径, 选择列表)撤销选择
其核心就是 for 循环里面的递归在递归调用之前「做选择」在递归调用之后「撤销选择」
排列、组合、子集
无论是排列、组合还是子集问题简单说无非就是让你从序列 nums 中以给定规则取若干元素主要有以下几种变体
元素无重不可复选【I】即 nums 中的元素都是唯一的每个元素最多只能被使用一次这也是最基本的形式。以组合为例如果输入 nums [2,3,6,7]和为 7 的组合应该只有 [7]。元素可重不可复选【II】即 nums 中的元素可以存在重复每个元素最多只能被使用一次。以组合为例如果输入 nums [2,5,2,1,2]和为 7 的组合应该有两种 [2,2,2,1] 和 [5,2]。元素无重可复选即 nums 中的元素都是唯一的每个元素可以被使用若干次。以组合为例如果输入 nums [2,3,6,7]和为 7 的组合应该有两种 [2,2,3] 和 [7]。
当然也可以说有第四种形式即元素可重可复选。但既然元素可复选那又何必存在重复元素呢元素去重之后就等同于形式三所以这种情况不用考虑。
排列
排列的概念和排列树
排列的概念
全排列是一个组合数学概念它指的是一个给定集合中所有元素的不同排列方式【不同顺序是两个】。全排列是一个重要的排列组合问题通常用于解决诸如排列、组合、密码学和计算机算法等领域的问题。
假设有一个集合其中包含n个不同的元素全排列就是这些元素的所有可能的排列方式。每个元素在每个排列中都只出现一次。全排列问题通常用于计算和枚举这些排列以便解决各种问题如密码破解、计算机编程中的排列操作等。
在数学符号中全排列通常用符号P(n)来表示其中n表示集合中元素的数量。因此对于上述例子P(3) 3! 3 × 2 × 1 6。全排列的数量等于元素个数的阶乘。
排列树
排列树如下
子集
子集的概念和子集树
子集的概念
组合问题和子集问题其实是等价的什么是子集呢子集是集合论中的一个重要概念它指的是一个集合中的部分元素的集合。更具体地说如果集合A中的所有元素都包含在集合B中那么A是B的一个子集。这可以用符号表示为A ⊆ B。
以下是子集的一些关键特点和定义 子集关系如果集合A的任意一个元素都是集合B的元素那么集合A称为集合B的子集 空集合是任何集合的子集空集合不包含任何元素的集合是所有集合的子集。形式化地∅空集合是任何集合A的子集即∅ ⊆ A。 集合是其自身的子集任何集合都是其自身的子集即对于任何集合AA ⊆ A。 真子集如果A是B的子集但A和B不相等那么A被称为B的真子集。形式化地如果A ⊆ B 且 A ≠ B那么A是B的真子集可以表示为A ⊂ B。
例如假设有两个集合 A {1, 2} B {1, 2, 3, 4}
在这种情况下集合A是集合B的子集因为A中的所有元素都包含在B中。所以A ⊆ B。同时A也是B的真子集因为它们不相等即A ≠ B可以表示为A ⊂ B。
子集树
子集树如下 所有子集就是把所有节点的值都收集起来
组合
组合的概念和组合树
组合的概念
组合是组合数学中的一个重要概念它涉及从给定的集合中选择出一定数量的元素而不考虑元素的顺序。组合用来计算在不同的选择中选取一组元素的方式而不考虑它们的排列顺序。组合通常表示为 “C(n, k)”其中 “n” 表示集合中的元素数量“k” 表示要选择的元素数量。
组合的定义如下
在集合中从n个不同的元素中选择k个元素其中1 ≤ k ≤ n这种选择方式称为一个组合。组合通常用 “C(n, k)” 表示其中 “n” 是总元素数量 “k” 是选择的元素数量。组合的数量可以用以下公式计算
C(n, k) n! / (k!(n-k)!)
其中 “n!” 表示n的阶乘即n的所有正整数的乘积。
组合与排列不同排列考虑元素的顺序而组合仅考虑元素的选择无论其顺序如何。例如如果有一个集合 {A, B, C}那么从中选择两个元素的组合有三种{A, B}、{A, C} 和 {B, C}而不考虑元素的排列顺序。
组合的应用非常广泛包括在组合优化、统计学、概率论、密码学、计算机科学和组合数学等领域。
组合树
组合树与子集树相同只不过是子集树上满足条件的某一层节点
排列、子集、组合的区别和联系
下表是排列、子集和组合的联系与区别的简要总结
特点排列Permutation子集Subset组合Combination定义考虑元素的排列顺序不考虑元素的排列顺序不考虑元素的排列顺序选择元素个数kk个元素0到n个元素k个元素顺序重要性重要不重要不重要表示形式P(n, k)-C(n, k)计算公式n! / (n-k)!-n! / (k!(n-k)!)例子排列一组车辆的顺序集合中的元素的所有可能子集从一组学生中选择小组
这个表格总结了排列、子集和组合的定义、特点、选择元素个数、顺序重要性、表示形式和计算公式以帮助理解它们之间的联系和区别。
