无锡微信网站定制,做网批有专门的网站吗?,产品拍摄,深圳市建设信息网官网文章目录 1 线性映射及其矩阵表示2 线性映射的值域#xff08;像#xff09;和核3 线性变换4 酉变换和正交变换5 同态和同构6 不变子空间 1 线性映射及其矩阵表示 映射定义 设 A , B A,B A,B是两个集合#xff0c;如果存在一个规则 f f f#xff0c;使得对于 A A A中的元素… 文章目录 1 线性映射及其矩阵表示2 线性映射的值域像和核3 线性变换4 酉变换和正交变换5 同态和同构6 不变子空间 1 线性映射及其矩阵表示 映射定义 设 A , B A,B A,B是两个集合如果存在一个规则 f f f使得对于 A A A中的元素 x x x都有 B B B中唯一的元素 y y y与之对应则称 f f f是从 A A A到 B B B的映射记作 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B。在映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B中 A A A的元素 x x x被映射到 B B B的元素 y y y我们通常写作 f ( x ) y f(x)y f(x)y 如果 ∀ x 1 , x 2 ∈ A , x 1 ≠ x 2 , f ( x 1 ) ≠ f ( x 2 ) \forall x_1,x_2\in A,x_1\neq x_2,f(x_1)\neq f(x_2) ∀x1,x2∈A,x1x2,f(x1)f(x2)则称映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是单射的 如果 ∀ y ∈ B , ∃ x ∈ A , f ( x ) y \forall y\in B,\exist x\in A,f(x)y ∀y∈B,∃x∈A,f(x)y则称映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是满射的 如果映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B既满足单射又满足满射则称映射 f : A → B f:A\rightarrow B f:A→B是双射的。 线性映射定义 设 V , W V,W V,W是在数域 F F F上的向量空间如果 ∀ v 1 , v 2 ∈ V , ∀ α 1 , α 2 ∈ F \forall v_1,v_2\in V,\forall \alpha_1,\alpha_2\in F ∀v1,v2∈V,∀α1,α2∈F有 σ ( α 1 v 1 α 2 v 2 ) α 1 σ ( v 1 ) α 2 σ ( v 2 ) \sigma(\alpha_1v_1\alpha_2v_2)\alpha_1\sigma(v_1)\alpha_2\sigma(v_2) σ(α1v1α2v2)α1σ(v1)α2σ(v2)则从 V V V到 W W W的映射 σ \sigma σ称为线性映射。 线性映射定理 设 σ , γ \sigma,\gamma σ,γ是线性空间 V V V到 W W W的线性映射则 σ ( 0 ) 0 \sigma(0)0 σ(0)0 ∀ x ∈ V 1 , σ ( − x ) − σ ( x ) \forall x\in V_1,\sigma(-x)-\sigma(x) ∀x∈V1,σ(−x)−σ(x) 如果 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn是 V 1 V_1 V1的一组向量 k 1 , ⋯ , k n ∈ F k_1,\cdots,k_n\in F k1,⋯,kn∈F则有 σ ( k 1 x 1 ⋯ k n x n ) k 1 σ ( x 1 ) ⋯ k n σ ( x n ) \sigma(k_1x_1\cdotsk_nx_n)k_1\sigma(x_1)\cdotsk_n\sigma(x_n) σ(k1x1⋯knxn)k1σ(x1)⋯knσ(xn) 如果 x 1 , ⋯ , x n x_1,\cdots,x_n x1,⋯,xn是 V 1 V_1 V1的一组线性相关向量则 σ ( x 1 ) , ⋯ , σ ( x n ) \sigma(x_1),\cdots,\sigma(x_n) σ(x1),⋯,σ(xn)是 V 2 V_2 V2中的一组线性相关向量并且当且仅当 σ \sigma σ是一一映射时 V 1 V_1 V1中的线性无关向量组的像像即是线性映射的值域是 V 2 V_2 V2中的线性无关向量组。 如果 v 1 , ⋯ , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn是 V V V的一组基且 σ ( v i ) γ ( v i ) ( 1 ≤ i ≤ n ) \sigma(v_i)\gamma(v_i)(1\leq i\leq n) σ(vi)γ(vi)(1≤i≤n)则 σ γ \sigma\gamma σγ。说明线性映射由基像组唯一确定。 线性映射运算 设 V 1 V_1 V1到 V 2 V_2 V2的所有线性映射组成的集合记为 φ ( V 1 , V 2 ) \varphi(V_1,V_2) φ(V1,V2)类似地 φ ( V 1 , V 3 ) , φ ( V 2 , V 3 ) \varphi(V_1,V_3),\varphi(V_2,V_3) φ(V1,V3),φ(V2,V3)分别表示 V 1 V_1 V1到 V 3 V_3 V3的所有线性映射组成的集合和 V 2 V_2 V2到 V 3 V_3 V3的所有线性映射组成的集合 设 σ , γ ∈ φ ( V 1 , V 2 ) \sigma,\gamma \in \varphi(V_1,V_2) σ,γ∈φ(V1,V2)定义它们的和 σ γ \sigma\gamma σγ为 ( σ γ ) ( x ) σ ( x ) γ ( x ) , ∀ x ∈ V 1 (\sigma\gamma)(x)\sigma(x)\gamma(x),\forall x\in V_1 (σγ)(x)σ(x)γ(x),∀x∈V1。 σ , γ ∈ φ ( V 1 , V 2 ) \sigma,\gamma \in \varphi(V_1,V_2) σ,γ∈φ(V1,V2)则 σ γ ∈ φ ( V 1 , V 2 ) \sigma\gamma \in \varphi(V_1,V_2) σγ∈φ(V1,V2) σ ∈ φ ( V 1 , V 2 ) , γ ∈ φ ( V 2 , V 3 ) \sigma\in \varphi(V_1,V_2),\gamma \in \varphi(V_2,V_3) σ∈φ(V1,V2),γ∈φ(V2,V3)则 σ γ ∈ φ ( V 1 , V 2 ) \sigma \gamma \in \varphi(V_1,V_2) σγ∈φ(V1,V2) 线性映射的加法适合交换律和结合律乘法适合结合律标量乘法适合结合律分配律。 重要定理 设 σ ∈ φ ( V 1 , V 2 ) \sigma \in \varphi(V_1,V_2) σ∈φ(V1,V2)如果 σ \sigma σ是可逆映射则 σ − 1 ∈ φ ( V 2 , V 1 ) \sigma^{-1}\in \varphi(V_2,V_1) σ−1∈φ(V2,V1)。 线性映射的矩阵表示 设 σ : U → V \sigma:U\rightarrow V σ:U→V是一个线性映射 [ u 1 , ⋯ , u n ] [u_1,\cdots,u_n] [u1,⋯,un]是 U U U的一组基 σ \sigma σ完全由 σ ( u 1 ) , ⋯ , σ ( u n ) \sigma(u_1),\cdots,\sigma(u_n) σ(u1),⋯,σ(un)确定如果 u x 1 u 1 ⋯ , x n u n ux_1u_1\cdots,x_nu_n ux1u1⋯,xnun则 σ ( u ) x 1 σ ( u 1 ) ⋯ x n σ ( u n ) \sigma(u)x_1\sigma(u_1)\cdotsx_n\sigma(u_n) σ(u)x1σ(u1)⋯xnσ(un)。 设 v 1 , ⋯ , v m v_1,\cdots,v_m v1,⋯,vm是 V V V的一组基则 σ ( u 1 ) a 11 v 1 ⋯ a 1 n v m ⋮ σ ( u n ) a n 1 v 1 ⋯ a n n v m \sigma(u_1)a_{11}v_1\cdotsa_{1n}v_m\\\ \vdots\\ \sigma(u_n)a_{n1}v_1\cdotsa_{nn}v_m\ σ(u1)a11v1⋯a1nvm ⋮σ(un)an1v1⋯annvm 故 [ σ ( u 1 ) , ⋯ , σ ( u n ) ] [ v 1 , ⋯ , v m ] A [\sigma(u_1),\cdots,\sigma(u_n)][v_1,\cdots,v_m]A [σ(u1),⋯,σ(un)][v1,⋯,vm]A其中 A ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) A\begin{pmatrix}a_{11}\cdots a_{1n}\\\vdots\vdots\vdots\\a_{n1}\cdots a_{nn}\end{pmatrix} A a11⋮an1⋯⋮⋯a1n⋮ann 。矩阵 A A A称为线性映射 σ \sigma σ在 U U U的基 [ u 1 , ⋯ , u n ] [u_1,\cdots,u_n] [u1,⋯,un]和 V V V的基 [ v 1 , ⋯ , v n ] [v_1,\cdots,v_n] [v1,⋯,vn]下的表示矩阵。 重要定理 设设 σ \sigma σ为数域 F F F上线性空间 U U U到 V V V的线性映射其中 u 1 , ⋯ , u n u_1,\cdots,u_n u1,⋯,un是 U U U的一组基 v 1 , ⋯ , v m v_1,\cdots,v_m v1,⋯,vm是 V V V的一组基 σ \sigma σ在这对基下的矩阵是 A A A ∀ α ∑ i 1 n x i u i \forall \alpha \sum_{\\i1}^nx_iu_i ∀α∑i1nxiui有 σ ( α ) ∑ i 1 m y i v i \sigma(\alpha)\sum_{\\i1}^my_iv_i σ(α)∑i1myivi则 [ y i , ⋯ , y m ] T A [ x 1 , ⋯ , x n ] [y_i,\cdots,y_m]^TA[x_1,\cdots,x_n] [yi,⋯,ym]TA[x1,⋯,xn]。 线性映射在不同基下的矩阵之间的关系 同一个线性映射在不同基下的矩阵一般是不同的 设 σ \sigma σ为数域 F F F上 n n n维线性空间 U U U到 n n n维线性空间 V V V的线性映射其中 u 1 , ⋯ , u n u_1,\cdots,u_n u1,⋯,un和 u 1 ′ , ⋯ , u n ′ u_1,\cdots,u_n u1′,⋯,un′是 U U U的两组基由 u 1 , ⋯ , u n u_1,\cdots,u_n u1,⋯,un到 u 1 ′ , ⋯ , u n ′ u_1,\cdots,u_n u1′,⋯,un′的过渡矩阵是 Q Q Q v 1 , ⋯ , v m v_1,\cdots,v_m v1,⋯,vm和 v 1 ′ , ⋯ , v m ′ v_1,\cdots,v_m v1′,⋯,vm′是 V V V的两组基由 v 1 , ⋯ , v m v_1,\cdots,v_m v1,⋯,vm到 v 1 ′ , ⋯ , v m ′ v_1,\cdots,v_m v1′,⋯,vm′的过渡矩阵是 P P P σ \sigma σ在基 u 1 , ⋯ , u n u_1,\cdots,u_n u1,⋯,un与基 v 1 , ⋯ , v m v_1,\cdots,v_m v1,⋯,vm下的矩阵是 A A A而在基 u 1 ′ , ⋯ , u n ′ u_1,\cdots,u_n u1′,⋯,un′与基 v 1 ′ , ⋯ , v m ′ v_1,\cdots,v_m v1′,⋯,vm′的矩阵为 B B B则 B P − 1 A Q BP^{-1}AQ BP−1AQ。 推导 因为 σ ( u 1 , ⋯ , u n ) ( v 1 , ⋯ , v m ) A σ ( u 1 ′ , ⋯ , u ′ ) ( v 1 ′ , ⋯ , v m ′ ) B ( u 1 ′ , ⋯ , u ′ ) ( u 1 , ⋯ , u n ) Q ( v 1 ′ , ⋯ , v m ′ ) ( v 1 , ⋯ , v m ) P \sigma(u_1,\cdots,u_n)(v_1,\cdots,v_m)A\\ \sigma(u_1,\cdots,u)(v_1,\cdots,v_m)B\\ (u_1,\cdots,u)(u_1,\cdots,u_n)Q\\ (v_1,\cdots,v_m)(v_1,\cdots,v_m)P σ(u1,⋯,un)(v1,⋯,vm)Aσ(u1′,⋯,u′)(v1′,⋯,vm′)B(u1′,⋯,u′)(u1,⋯,un)Q(v1′,⋯,vm′)(v1,⋯,vm)P 则把式子代入得到 σ ( u 1 ′ , ⋯ , u ′ ) σ ( u 1 , ⋯ , u n ) Q ( v 1 , ⋯ , v m ) A Q ( v 1 ′ , ⋯ , v m ′ ) P − 1 A Q \sigma(u_1,\cdots,u)\sigma(u_1,\cdots,u_n)Q\\(v_1,\cdots,v_m)AQ\\(v_1,\cdots,v_m)P^{-1}AQ σ(u1′,⋯,u′)σ(u1,⋯,un)Q(v1,⋯,vm)AQ(v1′,⋯,vm′)P−1AQ 因为线性映射 σ \sigma σ的矩阵由基唯一确定所以 B P − 1 A Q BP^{-1}AQ BP−1AQ。 相抵 设 A , B ∈ F m × n A,B\in F^{m\times n} A,B∈Fm×n如果存在数域 F F F上的 m m m阶非奇异矩阵 P P P和 n n n阶非奇异矩阵 Q Q Q使得 B P A Q BPAQ BPAQ则称 A A A与 B B B相抵等价。 如果 A A A与 B B B相抵则它们可作为 n n n维线性空间 U U U到 m m m维线性空间 V V V的同一线性映射在两对基所对应的矩阵。 相抵的充分必要条件是它们有相同的秩。
2 线性映射的值域像和核 值域像和核的定义 设 σ \sigma σ为数域 F F F上线性空间 U U U到 V V V的线性映射令 R ( σ ) I m ( σ ) { σ ( x ) ∣ x ∈ U } R(\sigma)I_m(\sigma)\{\sigma(x)| x\in U\} R(σ)Im(σ){σ(x)∣x∈U} K e r ( σ ) N ( σ ) { x ∈ U ∣ σ ( x ) 0 } Ker(\sigma)N(\sigma)\{x\in U|\sigma(x)0\} Ker(σ)N(σ){x∈U∣σ(x)0}。 称 R ( σ ) R(\sigma) R(σ)是线性映射 σ \sigma σ的值域也称像 K e r ( σ ) Ker(\sigma) Ker(σ)是线性映射 σ \sigma σ的核。 易知 R ( σ ) R(\sigma) R(σ)是 V V V的一个子空间 K e r ( σ ) Ker(\sigma) Ker(σ)是 U U U的一个子空间。 值域像和核理解 值域像是映射所能到的空间它包含了所有在映射过程中真实映射到的点描述了映射的覆盖范围。值域像是目标空间 W W W的一个子空间。 核是映射的零空间它包含了所有被映射到零的输入向量描述了映射的非单射性即存在映射到同一个元素的不同输入。核是定义在 V V V上的一个子空间。 定理 设 σ \sigma σ为数域 F F F上 n n n维线性空间 U U U到 n n n维线性空间 V V V的线性映射其中 u 1 , ⋯ , u n u_1,\cdots,u_n u1,⋯,un是 U U U的一组基 v 1 , ⋯ , v m v_1,\cdots,v_m v1,⋯,vm是 V V V的一组基 σ \sigma σ在这对基下的矩阵是 A A A则 R ( σ ) s p a n ( σ ( u 1 ) , ⋯ , σ ( u n ) ) R(\sigma)span(\sigma(u_1),\cdots,\sigma(u_n)) R(σ)span(σ(u1),⋯,σ(un)) r a n k ( σ ) r a n k ( A ) rank(\sigma)rank(A) rank(σ)rank(A) d i m ( R ( σ ) ) d i m ( K e r ( σ ) ) n dim(R(\sigma))dim(Ker(\sigma))n dim(R(σ))dim(Ker(σ))n
3 线性变换 定义 设 V V V是数域 F F F上的线性空间 V V V到自身的线性映射称为 V V V上的线性变换。 n n n维线性空间 V V V上的线性变换与矩阵之间的关系 设 σ \sigma σ是在 V V V上的线性变换 v 1 , ⋯ , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn是一组基则 σ ( v 1 ) a 11 v 1 ⋯ a 1 n v m ⋮ σ ( v n ) a n 1 v 1 ⋯ a n n v m \sigma(v_1)a_{11}v_1\cdotsa_{1n}v_m\\\ \vdots\\ \sigma(v_n)a_{n1}v_1\cdotsa_{nn}v_m\ σ(v1)a11v1⋯a1nvm ⋮σ(vn)an1v1⋯annvm 故 [ σ ( v 1 ) , ⋯ , σ ( v n ) ] [ v 1 , ⋯ , v m ] A [\sigma(v_1),\cdots,\sigma(v_n)][v_1,\cdots,v_m]A [σ(v1),⋯,σ(vn)][v1,⋯,vm]A其中 A ( a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ) A\begin{pmatrix}a_{11}\cdots a_{1n}\\\vdots\vdots\vdots\\a_{n1}\cdots a_{nn}\end{pmatrix} A a11⋮an1⋯⋮⋯a1n⋮ann 。矩阵 A A A称为线性变换 σ \sigma σ在 U U U的基 [ v 1 , ⋯ , v n ] [v_1,\cdots,v_n] [v1,⋯,vn]下的表示矩阵。 重要定理 设 n n n维线性空间 V V V上线性变换 σ \sigma σ在基 v 1 , ⋯ , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn和 v 1 ′ , ⋯ , v n ′ v_1,\cdots,v_n v1′,⋯,vn′下的矩阵分别为 A A A和 B B B由基 v 1 , ⋯ , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn到基 v 1 ′ , ⋯ , v n ′ v_1,\cdots,v_n v1′,⋯,vn′的过渡矩阵为 P P P则 B P − 1 A P BP^{-1}AP BP−1AP 推导 因为 ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) ( v 1 , ⋯ , v n ) P σ ( v 1 , ⋯ , v n ) ( v 1 , ⋯ , v n ) A σ ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) B (v_1,\cdots,v_n)(v_1,\cdots,v_n)P\\ \sigma(v_1,\cdots,v_n)(v_1,\cdots,v_n)A\\ \sigma(v_1,\cdots,v_n)(v_1,\cdots,v_n)B\\ (v1′,⋯,vn′)(v1,⋯,vn)Pσ(v1,⋯,vn)(v1,⋯,vn)Aσ(v1′,⋯,vn′)(v1′,⋯,vn′)B 则代入得到 $$ $$ σ ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) σ ( v 1 , ⋯ , v n ) P ( v 1 , ⋯ , v n ) A P σ ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) B ( v 1 , ⋯ , v n ) A P ( v 1 ′ , ⋯ , v n ′ ) B ( v 1 , ⋯ , v n ) P B \sigma(v_1,\cdots,v_n)\sigma(v_1,\cdots,v_n)P\\(v_1,\cdots,v_n)AP\\ \sigma(v_1,\cdots,v_n)(v_1,\cdots,v_n)B\\ (v_1,\cdots,v_n)AP(v_1,\cdots,v_n)B(v_1,\cdots,v_n)PB σ(v1′,⋯,vn′)σ(v1,⋯,vn)P(v1,⋯,vn)APσ(v1′,⋯,vn′)(v1′,⋯,vn′)B(v1,⋯,vn)AP(v1′,⋯,vn′)B(v1,⋯,vn)PB 所以 A P P B APPB APPB左乘 P − 1 P^{-1} P−1得 B P − 1 A P BP^{-1}AP BP−1AP。 相似 设 A , B ∈ F m × n A,B\in F^{m\times n} A,B∈Fm×n如果存在可逆矩阵 P ∈ F n × n P\in F^{n\times n} P∈Fn×n使得 B P − 1 A B BP^{-1}AB BP−1AB则称 A A A与 B B B相似。
4 酉变换和正交变换 定义 设 V V V是 n n n维酉欧式空间一个在复数实数域上的内积空间 σ : V → V \sigma:V\rightarrow V σ:V→V是线性变换如果 ∀ x ∈ V , ∣ ∣ σ ( x ) ∣ ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ \forall x\in V,||\sigma(x)||||x|| ∀x∈V,∣∣σ(x)∣∣∣∣x∣∣ σ \sigma σ就称为酉正交变换 定理 设 V V V是 n n n维酉欧式空间一个在复数实数域上的内积空间如果 σ : V → V \sigma:V\rightarrow V σ:V→V是酉正交变换则 ∀ x , y ∈ V , ( σ ( x ) , σ ( y ) ) ( x , y ) \forall x,y\in V,(\sigma(x),\sigma(y))(x,y) ∀x,y∈V,(σ(x),σ(y))(x,y) 即酉正交变换保持向量的内积。 如果 v 1 , ⋯ , v n v_1,\cdots,v_n v1,⋯,vn是 V V V的一组标准正交基则 σ ( v 1 ) , ⋯ , σ ( v n ) \sigma(v_1),\cdots,\sigma(v_n) σ(v1),⋯,σ(vn)也是 V V V的一组标准正交基。 σ \sigma σ在 V V V的任意一组标准正交基下的矩阵是酉正交矩阵。 设 v [ v 1 , ⋯ , v n ] v[v_1,\cdots,v_n] v[v1,⋯,vn]是酉欧式空间 V V V的一组标准正交基 A A A维 σ : V → V \sigma: V\rightarrow V σ:V→V在基 v v v的表示矩阵为 A A A则 σ \sigma σ是一个酉正交变换当且仅当 A H A I ( A T I ) A^HAI(A^TI) AHAI(ATI)。 即 A A A的列向量组成了 C n ( R n ) C^{n}(R^n) Cn(Rn)的标准正交基。
5 同态和同构 定义 设 V V V和 W W W是在相同数域 F F F上的两个向量空间 σ : V → W \sigma:V\rightarrow W σ:V→W是线性变换也称为同态。如果 σ \sigma σ是一一对应的则称为同构。 如果存在从 V V V到 W W W的同构则称 V V V与 W W W同构。 对于同构 σ : V → W , k e r ( σ ) { 0 } a n d σ ( V ) W \sigma: V\rightarrow W,ker(\sigma)\{0\} \space and \space \sigma(V)W σ:V→W,ker(σ){0} and σ(V)W。 定理 设 V V V和 W W W是在相同数域 F F F上的两个向量空间 σ \sigma σ是从 V V V到 W W W的同构 S S S为 V V V的子空间则 dim ( S ) dim ( σ ( S ) ) \dim(S)\dim(\sigma(S)) dim(S)dim(σ(S))。即两个同构空间有相同的维数充要条件。设 σ \sigma σ是从 V V V到 W W W的同构则 σ − 1 \sigma^{-1} σ−1是从 W W W到 V V V的同构数域 F F F 上任意一个 n n n维 向量空间 V V V同构于向量空间 F n F^n Fn。 性质 同构具有如下性质 自反性对称性传递性
6 不变子空间 定义 设 σ : V → V \sigma:V\rightarrow V σ:V→V是线性变换如果 V V V的子空间 S S S满足 ∀ x ∈ S , σ ( x ) ∈ S \forall x\in S, \sigma(x)\in S ∀x∈S,σ(x)∈S即 σ ( x ) ⊂ S \sigma(x)\subset S σ(x)⊂S则称 S S S是一个不变子空间。 当说到不变子空间时要指明是在什么映射下是不变的。利用 σ \sigma σ-不变子空间我们可以简化 σ \sigma σ的表示矩阵。 矩阵的不变子空间 设 A ∈ F n × n A\in F^{n\times n} A∈Fn×n σ A : F n → F n \sigma_A:F^n\rightarrow F^n σA:Fn→Fn被定义为 σ A ( x ) A x \sigma_A(x)Ax σA(x)Ax F n F^n Fn的子空间 S S S如果满足 ∀ x ∈ S , A x ∈ S \forall x\in S, Ax\in S ∀x∈S,Ax∈S则称 S S S是$\sigma $-不变子空间。 定理 设 σ : V → V \sigma:V\rightarrow V σ:V→V是线性变换则两个 σ \sigma σ-不变子空间的交、和、直和也是 σ \sigma σ-不变子空间。设 σ \sigma σ是在向量空间 V V V上的线性变换 W s p a n { x 1 , ⋯ , x k } Wspan\{x_1,\cdots,x_k\} Wspan{x1,⋯,xk}是 V V V的 σ \sigma σ-不变子空间当且仅当 σ ( x i ) ∈ W ( i 1 , 2 , ⋯ , k ) \sigma(x_i)\in W(i1,2,\cdots,k) σ(xi)∈W(i1,2,⋯,k)。设 σ \sigma σ是数域 F F F上 n n n维向量空间 V V V上的线性变换则 σ \sigma σ可以对角化的充要条件是 V V V可以分解成 σ \sigma σ的一维不变子空间的直和。设 σ \sigma σ是数域 F F F上 n n n维向量空间 V V V上的线性变换则 σ \sigma σ在 V V V的一组基下的矩阵为形如 ( A 11 A 12 0 A 22 ) \begin{pmatrix}A_{11}A_{12}\\0A_{22}\end{pmatrix} (A110A12A22)的块上三角矩阵的充要条件是 σ \sigma σ的非平凡的不变子空间。设 σ \sigma σ是数域 F F F上 n n n维向量空间 V V V上的线性变换则 σ \sigma σ在 V V V的一组基下的矩阵为块对角巨好着呢的充要条件是 V V V可以分解成 σ \sigma σ的若干个非平凡不变子空间的直和。
