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两个原因让我想写这篇文章#xff0c;一是做矩阵题目的时候就发现这三货经常绑在一起#xff0c;让人想去探寻其中奥秘#xff1b;另一就是今天学了向量组的秩#xff0c;让我想起来了之前遗留… 文章目录 引言一、回顾二、梳理齐次线性方程组非齐次线性方程组 写在最后 引言
两个原因让我想写这篇文章一是做矩阵题目的时候就发现这三货经常绑在一起让人想去探寻其中奥秘另一就是今天学了向量组的秩让我想起来了之前遗留下来的一个问题到底存不存在系数矩阵的秩和增广矩阵的秩之差比 1 大的情况可能这个问题有点抽象不过看了下面的具体说明应该就能理解了。 一、回顾
问题起因是这样我在写行列式的文章中关于克莱姆法则应用的说法是这样的 有读者建议把方程组无解的情况别写成 r ( A ) ≠ r ( A ‾ ) r(A) \ne r(\overline{A}) r(A)r(A) 而写成 r ( A ) 1 r ( A ‾ ) r(A) 1 r(\overline{A}) r(A)1r(A) . 我当时还未复习到方程组和向量部分有这样的疑问为什么非得是相差 1 我如果 A A A 有很多行为 0 增广矩阵的秩不就可以比系数矩阵大不止 1 吗
我当时隐约感觉是行秩和列秩模糊的问题。一方面矩阵中我们比较常用的是初等行变换忽视了列变换以及列秩另一方面列秩在方阵中和行秩是一样的。
起初我也是认为列秩没什么用的直到学到了向量这一部分。由于一般我们指的向量是列向量那么由一个向量组构成的矩阵自然考虑的是列秩。
因此我们针对一个一般性的 m × n m \times n m×n 矩阵或 n n n 个 m m m 维的向量组进行梳理请看下文。 二、梳理
对于一般齐次线性方程组 以及一般非齐次线性方程组 令 α 1 ( a 11 , a 21 , … , a m 1 ) T , α 2 ( a 12 , a 22 , … , a m 2 ) T , … , α n ( a 1 n , a 2 n , … , a m n ) T , b ( b 1 , b 2 , … , b m ) T \alpha_1(a_{11},a_{21},\dots,a_{m1})^T,\alpha_2(a_{12},a_{22},\dots,a_{m2})^T,\dots,\alpha_n(a_{1n},a_{2n},\dots,a_{mn})^T,b(b_{1},b_{2},\dots,b_{m})^T α1(a11,a21,…,am1)T,α2(a12,a22,…,am2)T,…,αn(a1n,a2n,…,amn)T,b(b1,b2,…,bm)T 则方程组III可表示为如下向量形式 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n 0 1.1 x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_n0 1.1 x1α1x2α2⋯xnαn01.1 x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x n α n b 2.1 x_1\alpha_1x_2\alpha_2\dotsx_n\alpha_nb 2.1 x1α1x2α2⋯xnαnb2.1
令 X ( x 1 , x 2 , … , x n ) T X(x_1,x_2,\dots,x_n)^T X(x1,x2,…,xn)T 矩阵 A [ α 1 , α 2 , … , α n ] A[\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n] A[α1,α2,…,αn] 即 则方程组III可表示为如下矩阵形式 A X 0 1.2 AX01.2 AX01.2 A X b 2.2 AXb2.2 AXb2.2
齐次线性方程组
对于齐次线性方程组I它有 m m m 个约束方程 n n n 个未知数。首先我们应了解的是不管方程个数和未知数个数多少不可能无解都是存在零解的。我们要讨论就是讨论有没有非零解。我们分三种情况
一 m n . m n. mn.
此时齐次线性方程组约束条件个数小于未知数必有一个未知数无法受限制如果那个不受限制的未知数取非零的话就存在非零解。那么向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 必线性相关则该向量组的秩 n n n 根据三秩相等性质 r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.
这种情况其实没什么好讨论的因为肯定存在非零解所以这也是为什么书上很少提及的情况吧。
二 m n . mn. mn.
此时就有讨论的必要了因为方程组可能只有零解也可能有非零解。
若齐次方程组只有零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.
我们此时可以得出 ∣ A ∣ ≠ 0 |A| \ne 0 ∣A∣0即因为系数矩阵是方阵且满秩。
若齐次方程组有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.
为什么是小于 n n n 呢因为构成系数矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn的秩小于 n n n 根据三秩相等性质该矩阵的秩亦小于 n n n 。
三 m n . m n. mn.
此时约束方程个数更多不过不影响什么。系数矩阵的秩仍然是满足 r ( A ) ≤ n , r(A) \leq n, r(A)≤n, 同样有和第 2 种情况一样的的结论。
把这三种情况总结起来其实还是第二种情况的结论。因此不论是否是方阵未知数和方程的个数如何都有如下结论即
齐次方程组只有零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性无关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.齐次方程组有非零解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ 向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性相关 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.
非齐次线性方程组
对于非齐次线性方程组II它有 m m m 个约束方程 n n n 个未知数右端常数向量为 b ( b 1 , b 2 , … , b m ) \pmb{b(b_1,b_2,\dots,b_m)} b(b1,b2,…,bm)b(b1,b2,…,bm)b(b1,b2,…,bm) 增广矩阵为 A ‾ [ A ∣ b ] . \overline{A}[A|b]. A[A∣b].
我们从其对应的齐次线性方程组I出发由于在齐次方程组中已经讨论了行数和列数的三种情况因此在非齐次中不再分三种情况了有兴趣同学可以也分三种情况去讨论得到的结论应该也是一样的。
若I只有零解根据上述结论有向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性无关且 r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.
接下来我们讨论此时非齐次的情况若非齐次线性方程组II无解则向量 b \pmb{b} bbb 不能被无关的向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性表示故增广矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,b 也线性无关可得 r ( A ‾ ) n 1 r(\overline{A})n1 r(A)n1 . 若非齐方程组II有解则向量 b \pmb{b} bbb 能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性表示故增广矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,b 线性相关可得 r ( A ‾ ) n 1 r(\overline{A})n1 r(A)n1 . 又因为向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性无关故 r ( A ‾ ) n r ( A ) . r(\overline{A})nr(A). r(A)nr(A).
若方程组II对应的齐次方程组I有非零解根据前一部分的结论方程组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性相关且 r ( A ) n . r(A)n. r(A)n.
我们讨论此时的非齐次方程组II的情况若方程组II无解则向量 b \pmb{b} bbb 不能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性表示但由于向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 是线性相关的故增广矩阵的列向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,b 线性相关可得 r ( A ‾ ) n 1 r(\overline{A})n1 r(A)n1 且 r ( A ‾ ) r ( A ) 1. r(\overline{A})r(A)1. r(A)r(A)1. 因为向量 b \pmb{b} bbb 不能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性表示则向量组 α 1 , α 2 , … , α n , b \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n,b} α1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,bα1,α2,…,αn,b 的秩比向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 多 1 即 r ( A ‾ ) r ( A ) 1. r(\overline{A})r(A)1. r(A)r(A)1. O.O 这个还是可以直观理解的。向量组是一列一列的加了一列不能被原来表示的列肯定秩加了 1 嘛。 若方程组II有解则向量 b \pmb{b} bbb 能被向量组 α 1 , α 2 , … , α n \pmb{\alpha_1,\alpha_2,\dots,\alpha_n} α1,α2,…,αnα1,α2,…,αnα1,α2,…,αn 线性表示故 r ( A ‾ ) r ( A ) n . r(\overline{A})r(A)n. r(A)r(A)n.
如下图所示讨论了所有情况下的秩的特征 总结一下可以得到如下一般性的结论
非齐次方程组有解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) r ( A ) . r(\overline{A})r(A). r(A)r(A).非齐次方程组无解 ⇔ \Leftrightarrow ⇔ r ( A ‾ ) ≠ r ( A ) , r(\overline{A})\ne r(A), r(A)r(A), 或 r ( A ‾ ) r ( A ) 1. r(\overline{A})r(A)1. r(A)r(A)1. 有解其实还可以再做讨论就放在后面方程组那一章再来细说吧。 写在最后
看来还是自己疏忽了三秩相等的性质才会产生开头那样的疑问。
现在也越来越认同其实向量才是贯穿线性代数的重要工具。
