sns社交网站建设,佛山营销网站建设服务公司,网站开发文本编辑器,网站建设ppt简介文章目录 1. 循环对称问题的提出2. 循环对称条件2.1 节点位移的循环对称关系2.2 节点内力的循环对称关系 3. 在平衡方程中引入循环对称条件 1. 循环对称问题的提出
许多工程结构都是其中某一扇面的n次周向重复#xff0c;也就是是周期循环对称结构。如果弹性体的几何形状、约… 文章目录 1. 循环对称问题的提出2. 循环对称条件2.1 节点位移的循环对称关系2.2 节点内力的循环对称关系 3. 在平衡方程中引入循环对称条件 1. 循环对称问题的提出
许多工程结构都是其中某一扇面的n次周向重复也就是是周期循环对称结构。如果弹性体的几何形状、约束情况以及所受的外部载荷都是对称于某一轴则所有的应力、应变和位移也就对称于对称轴那么这就是循环对称问题。典型的有发动机轮盘受离心力载荷下的应力分析轮盘结构如下图1所示。观察轮盘结构不难发现轮盘是扇形段重复多次的结构那么离心力是周期循环对称的并假设轮盘温度场是沿周向均布的那么轮盘的应力应变应该也是周期循环对称的。 对于循环对称问题事实上可以通过仅对某一扇面进行有限元模型就能获得正确的应力、应变和位移分析结果当然需要在有限元算法中引入特殊的条件。
2. 循环对称条件
2.1 节点位移的循环对称关系
在循环对称问题中需要引入柱坐标系来给定循环对称条件。如下图其中 x y z xyz xyz是笛卡尔坐标系 r θ z r\theta z rθz是柱坐标系结构是典型轮盘的某一扇段。 在该循环对称问题中扇面的面A的节点 i i i和面B的对应节点 j j j在柱坐标系 r θ z r\theta z rθz应该具有相同的坐标同时应该也具备相同的位移变量。假设节点 i i i和节点 j j j分别属于面A和面B的一对对应节点见下面示意图那么其柱坐标下的位移变量应该满足下式关系 u r i u r j u θ i u θ j u z i u z j u_{ri}u_{rj}\\u_{\theta i}u_{\theta j}\\u_{zi}u_{zj} uriurjuθiuθjuziuzj
节点 i i i在柱坐标系下的位移与在笛卡尔坐标系下的位移进行变换具体的变换关系如下 − u r i sin α − u θ i cos α u x i u r i cos α − u θ i sin α u y i u z i u z i -u_{ri}\sin\alpha-u_{\theta i}\cos\alphau_{xi}\\ u_{ri}\cos\alpha-u_{\theta i}\sin\alphau_{yi}\\u_{zi}u_{zi} −urisinα−uθicosαuxiuricosα−uθisinαuyiuziuzi 写成矩阵形式 [ u x i u y i u z i ] [ − sin α − cos α 0 cos α − sin α 0 0 0 1 ] [ u r i u θ i u z i ] \begin{bmatrix} u_{xi}\\u_{yi}\\u_{zi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sin\alpha -\cos\alpha 0\\ \cos\alpha -\sin\alpha 0\\ 001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{ri}\\u_{\theta i}\\u_{zi} \end{bmatrix} uxiuyiuzi −sinαcosα0−cosα−sinα0001 uriuθiuzi 节点 j j j在柱坐标系下的位移与在笛卡尔坐标系下的位移进行变换具体的变换关系如下 u r j sin β − u θ j cos β u x j u r j cos β u θ j sin β u y j u z j u z j u_{rj}\sin\beta-u_{\theta j}\cos\betau_{xj}\\ u_{rj}\cos\betau_{\theta j}\sin\betau_{yj}\\ u_{zj}u_{zj} urjsinβ−uθjcosβuxjurjcosβuθjsinβuyjuzjuzj 写成矩阵形式 [ u x j u y j u z j ] [ sin β − cos β 0 cos α sin β 0 0 0 1 ] [ u r j u θ j u z j ] \begin{bmatrix}u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin\beta -\cos\beta 0\\ \cos\alpha \sin\beta 0\\ 001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{rj}\\u_{\theta j}\\u_{zj} \end{bmatrix} uxjuyjuzj sinβcosα0−cosβsinβ0001 urjuθjuzj 那么 [ u r j u θ j u z j ] [ sin β cos β 0 − cos α sin β 0 0 0 1 ] [ u x j u y j u z j ] \begin{bmatrix}u_{rj}\\u_{\theta j}\\u_{zj}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sin\beta \cos\beta 0\\ -\cos\alpha \sin\beta 0\\ 001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj} \end{bmatrix} urjuθjuzj sinβ−cosα0cosβsinβ0001 uxjuyjuzj 由于 [ u r i u θ i u z i ] [ u r j u θ j u z j ] \begin{bmatrix}u_{ri}\\u_{\theta i}\\u_{zi}\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_{rj}\\u_{\theta j}\\u_{zj}\end{bmatrix} uriuθiuzi urjuθjuzj 那么 [ u x i u y i u z i ] [ − sin α − cos α 0 cos α − sin α 0 0 0 1 ] [ u r i u θ i u z i ] [ − sin α − cos α 0 cos α − sin α 0 0 0 1 ] [ u r j u θ j u z j ] [ − sin α − cos α 0 cos α − sin α 0 0 0 1 ] [ sin β cos β 0 − cos α sin β 0 0 0 1 ] [ u x j u y j u z j ] [ − sin α sin β cos α cos β − sin α cos β − cos α sin β 0 cos α sin β sin α cos β cos α cos β − sin α sin β 0 0 0 1 ] [ u x j u y j u z j ] [ cos ( α β ) − sin ( α β ) 0 sin ( α β ) cos ( α β ) 0 0 0 1 ] [ u x j u y j u z j ] [ cos ( θ ) − sin ( θ ) 0 sin ( θ ) cos ( θ ) 0 0 0 1 ] [ u x j u y j u z j ] [ θ 1 ] [ u x j u y j u z j ] \begin{bmatrix}u_{xi}\\u_{yi}\\u_{zi}\end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sin\alpha -\cos\alpha 0\\ \cos\alpha -\sin\alpha 0\\ 001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{ri}\\u_{\theta i}\\u_{zi} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -\sin\alpha -\cos\alpha 0\\ \cos\alpha -\sin\alpha 0\\ 001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{rj}\\u_{\theta j}\\u_{zj} \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} -\sin\alpha -\cos\alpha 0\\ \cos\alpha -\sin\alpha 0\\ 001 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \sin\beta \cos\beta 0\\ -\cos\alpha \sin\beta 0\\ 001 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj} \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} -\sin\alpha\sin\beta\cos\alpha\cos\beta -\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta 0\\ \cos\alpha\sin\beta\sin\alpha\cos\beta \cos\alpha\cos\beta-\sin\alpha\sin\beta 0\\ 001 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj} \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \cos(\alpha\beta) -\sin(\alpha\beta) 0\\ \sin(\alpha\beta) \cos(\alpha\beta) 0\\ 001 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj} \end{bmatrix}\\ \begin{bmatrix} \cos(\theta) -\sin(\theta) 0\\ \sin(\theta) \cos(\theta) 0\\ 001 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} u_{xj}\\u_{yj}\\u_{zj} \end{bmatrix} uxiuyiuzi −sinαcosα0−cosα−sinα0001 uriuθiuzi −sinαcosα0−cosα−sinα0001 urjuθjuzj −sinαcosα0−cosα−sinα0001 sinβ−cosα0cosβsinβ0001 uxjuyjuzj −sinαsinβcosαcosβcosαsinβsinαcosβ0−sinαcosβ−cosαsinβcosαcosβ−sinαsinβ0001 uxjuyjuzj cos(αβ)sin(αβ)0−sin(αβ)cos(αβ)0001 uxjuyjuzj cos(θ)sin(θ)0−sin(θ)cos(θ)0001 uxjuyjuzj [θ1] uxjuyjuzj
2.2 节点内力的循环对称关系
扇形段I除了节点位移存在循环对称关系剩余扇形对扇形段I的节点力也存在循环对称关系。典型的扇形段相互作用关系见下图其中扇形段I是分析对象扇形段II和扇形段III对扇形段I有相互作用。 其中扇形段I、II、III是重复扇形段 i i i、 i ′ i^{} i′、 i ′ ′ i^{} i′′是一组对应周期循环节点 j j j、 j ′ j^{} j′、 j ′ ′ j^{} j′′是一组对应周期循环节点。 其中 j ′ j^{} j′对 i i i的作用力为 f r i f_{ri} fri、 f θ i f_{\theta i} fθi、 f z i f_{zi} fzi j j j对 i ′ ′ i^{} i′′的作用力为 f r i ′ ′ f_{ri^{}} fri′′、 f θ i ′ ′ f_{\theta i^{}} fθi′′、 f z i ′ ′ f_{zi^{}} fzi′′从周期循环对称特征定义可知 f r i f r i ′ ′ f θ i f θ i ′ ′ f z i f z i ′ ′ f_{ri}f_{ri^{}}\\ f_{\theta i}f_{\theta i^{}}\\ f_{zi}f_{zi^{}} frifri′′fθifθi′′fzifzi′′ 那么 i ′ ′ i^{} i′′对 j j j的作用力 f r j f_{rj} frj、 f θ j f_{\theta j} fθj、 f z j f_{zj} fzj存在如下关系式 f r i − f r j f θ i − f θ j f z i − f z j f_{ri}-f_{rj}\\ f_{\theta i}-f_{\theta j}\\ f_{zi}-f_{zj} fri−frjfθi−fθjfzi−fzj 注上述节点力均在柱坐标系下。 参照上节节点位移的转换关系推导过程不难推得在上述节点力关系式在笛卡尔坐标系下的表达式 [ f x i f y i f z i ] − [ θ 1 ] [ f x j f y j f z j ] \begin{bmatrix}f_{xi}\\f_{yi}\\f_{zi}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\theta_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} f_{xj}\\f_{yj}\\f_{zj} \end{bmatrix} fxifyifzi −[θ1] fxjfyjfzj
3. 在平衡方程中引入循环对称条件
若某循环结构包含一对循环对称节点 i i i、 j j j不失一般性平衡方程可以写成下式 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i ⋯ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i ⋯ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k i 1 k i 2 ⋯ k i i ⋯ k i j ⋯ k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k j 1 k j 2 ⋯ k j i ⋯ k j j ⋯ k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i ⋯ k n j ⋯ k n n ] [ u 1 u 2 ⋮ u i ⋮ u j ⋮ u n ] [ R 1 F 1 F 2 ⋮ F i f i ⋮ F j f j ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i}\cdotsk_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i}\cdotsk_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{i1}k_{i2}\cdotsk_{ii}\cdotsk_{ij}\cdotsk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{j1}k_{j2}\cdotsk_{ji}\cdotsk_{jj}\cdotsk_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni}\cdotsk_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}u_1\\u_2\\\vdots\\u_i\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\F_if_i\\\vdots\\F_jf_j\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮ki1⋮kj1⋮kn1k12k22⋮ki2⋮kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1ik2i⋮kii⋮kji⋮kni⋯⋯⋯⋯⋯k1jk2j⋮kij⋮kjj⋮knj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮kin⋮kjn⋮knn u1u2⋮ui⋮uj⋮un R1F1F2⋮Fifi⋮Fjfj⋮Fn 式中 u 1 u_1 u1为模型的位移约束有 u 1 u ‾ 1 u_1\overline u_1 u1u1 R 1 R_1 R1为支反力 F i i 1 , ⋯ F_ii1,\cdots Fii1,⋯为节点外载荷 f i 、 f j f_i、f_j fi、fj为其他扇形段对扇形段I的作用力这里引入循环对称条件 [ f i ] − [ θ 1 ] [ f j ] \begin{bmatrix}f_{i}\end{bmatrix}-\begin{bmatrix}\theta_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix} f_{j}\end{bmatrix} [fi]−[θ1][fj] 上面平衡方程变成如下形式 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i ⋯ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i ⋯ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k i 1 k i 2 ⋯ k i i ⋯ k i j ⋯ k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k j 1 k j 2 ⋯ k j i ⋯ k j j ⋯ k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i ⋯ k n j ⋯ k n n ] [ u ‾ 1 u 2 ⋮ u i ⋮ u j ⋮ u n ] [ R 1 F 1 F 2 ⋮ F i − θ f j ⋮ F j f j ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i}\cdotsk_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i}\cdotsk_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{i1}k_{i2}\cdotsk_{ii}\cdotsk_{ij}\cdotsk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{j1}k_{j2}\cdotsk_{ji}\cdotsk_{jj}\cdotsk_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni}\cdotsk_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\ u_i\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\F_i-\theta f_j\\\vdots\\F_jf_j\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮ki1⋮kj1⋮kn1k12k22⋮ki2⋮kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1ik2i⋮kii⋮kji⋮kni⋯⋯⋯⋯⋯k1jk2j⋮kij⋮kjj⋮knj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮kin⋮kjn⋮knn u1u2⋮ui⋮uj⋮un R1F1F2⋮Fi−θfj⋮Fjfj⋮Fn 进一步用 θ T \theta^T θT左乘第 i i i行则 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i ⋯ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i ⋯ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 θ T k i 2 ⋯ θ T k i i ⋯ θ T k i j ⋯ θ T k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k j 1 k j 2 ⋯ k j i ⋯ k j j ⋯ k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i ⋯ k n j ⋯ k n n ] [ u ‾ 1 u 2 ⋮ u i ⋮ u j ⋮ u n ] [ R 1 F 1 F 2 ⋮ θ T F i − f j ⋮ F j f j ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i}\cdotsk_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i}\cdotsk_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}\theta^Tk_{i2}\cdots\theta^Tk_{ii}\cdots\theta^Tk_{ij}\cdots\theta^Tk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{j1}k_{j2}\cdotsk_{ji}\cdotsk_{jj}\cdotsk_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni}\cdotsk_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\ u_i\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\\theta^TF_i-f_j\\\vdots\\F_jf_j\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮θTki1⋮kj1⋮kn1k12k22⋮θTki2⋮kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1ik2i⋮θTkii⋮kji⋮kni⋯⋯⋯⋯⋯k1jk2j⋮θTkij⋮kjj⋮knj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮θTkin⋮kjn⋮knn u1u2⋮ui⋮uj⋮un R1F1F2⋮θTFi−fj⋮Fjfj⋮Fn 将第 i i i行加到第 j j j行上式进一步变换为 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i ⋯ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i ⋯ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 θ T k i 2 ⋯ θ T k i i ⋯ θ T k i j ⋯ θ T k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 k j 1 θ T k i 2 k j 2 ⋯ θ T k i i k j i ⋯ θ T k i j k j j ⋯ θ T k i n k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i ⋯ k n j ⋯ k n n ] [ u ‾ 1 u 2 ⋮ u i ⋮ u j ⋮ u n ] [ R 1 F 1 F 2 ⋮ θ T F i − f j ⋮ F j θ T F i ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i}\cdotsk_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i}\cdotsk_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}\theta^Tk_{i2}\cdots\theta^Tk_{ii}\cdots\theta^Tk_{ij}\cdots\theta^Tk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}k_{j1}\theta^Tk_{i2}k_{j2}\cdots\theta^Tk_{ii}k_{ji}\cdots\theta^Tk_{ij}k_{jj}\cdots\theta^Tk_{in}k_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni}\cdotsk_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\u_i\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\\theta^TF_i-f_j\\\vdots\\F_j\theta^TF_i\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮θTki1⋮θTki1kj1⋮kn1k12k22⋮θTki2⋮θTki2kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1ik2i⋮θTkii⋮θTkiikji⋮kni⋯⋯⋯⋯⋯k1jk2j⋮θTkij⋮θTkijkjj⋮knj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮θTkin⋮θTkinkjn⋮knn u1u2⋮ui⋮uj⋮un R1F1F2⋮θTFi−fj⋮FjθTFi⋮Fn 将位移循环对称条件引入上式中 [ u i ] [ θ 1 ] [ u j ] \begin{bmatrix}u_{i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{j}\end{bmatrix} [ui][θ1][uj] 那么平衡方程变换为 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i ⋯ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i ⋯ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 θ T k i 2 ⋯ θ T k i i ⋯ θ T k i j ⋯ θ T k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 k j 1 θ T k i 2 k j 2 ⋯ θ T k i i k j i ⋯ θ T k i j k j j ⋯ θ T k i n k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i ⋯ k n j ⋯ k n n ] [ u ‾ 1 u 2 ⋮ θ u j ⋮ u j ⋮ u n ] [ R 1 F 1 F 2 ⋮ θ T F i − f j ⋮ F j θ T F i ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i}\cdotsk_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i}\cdotsk_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}\theta^Tk_{i2}\cdots\theta^Tk_{ii}\cdots\theta^Tk_{ij}\cdots\theta^Tk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}k_{j1}\theta^Tk_{i2}k_{j2}\cdots\theta^Tk_{ii}k_{ji}\cdots\theta^Tk_{ij}k_{jj}\cdots\theta^Tk_{in}k_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni}\cdotsk_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\\theta u_j\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\\theta^TF_i-f_j\\\vdots\\F_j\theta^TF_i\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮θTki1⋮θTki1kj1⋮kn1k12k22⋮θTki2⋮θTki2kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1ik2i⋮θTkii⋮θTkiikji⋮kni⋯⋯⋯⋯⋯k1jk2j⋮θTkij⋮θTkijkjj⋮knj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮θTkin⋮θTkinkjn⋮knn u1u2⋮θuj⋮uj⋮un R1F1F2⋮θTFi−fj⋮FjθTFi⋮Fn 将 θ \theta θ提出来右乘到第 i i i列那么上式变为 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i θ ⋯ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i θ ⋯ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 θ T k i 2 ⋯ θ T k i i θ ⋯ θ T k i j ⋯ θ T k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 k j 1 θ T k i 2 k j 2 ⋯ θ T k i i θ k j i θ ⋯ θ T k i j k j j ⋯ θ T k i n k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i θ ⋯ k n j ⋯ k n n ] [ u ‾ 1 u 2 ⋮ u j ⋮ u j ⋮ u n ] [ R 1 F 1 F 2 ⋮ θ T F i − f j ⋮ F j θ T F i ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i}\theta\cdotsk_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i}\theta\cdotsk_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}\theta^Tk_{i2}\cdots\theta^Tk_{ii}\theta\cdots\theta^Tk_{ij}\cdots\theta^Tk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}k_{j1}\theta^Tk_{i2}k_{j2}\cdots\theta^Tk_{ii}\thetak_{ji}\theta\cdots\theta^Tk_{ij}k_{jj}\cdots\theta^Tk_{in}k_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni}\theta\cdotsk_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\\theta^TF_i-f_j\\\vdots\\F_j\theta^TF_i\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮θTki1⋮θTki1kj1⋮kn1k12k22⋮θTki2⋮θTki2kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1iθk2iθ⋮θTkiiθ⋮θTkiiθkjiθ⋮kniθ⋯⋯⋯⋯⋯k1jk2j⋮θTkij⋮θTkijkjj⋮knj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮θTkin⋮θTkinkjn⋮knn u1u2⋮uj⋮uj⋮un R1F1F2⋮θTFi−fj⋮FjθTFi⋮Fn
在上式中用缩减节点的位移列阵替换全节点位移列阵即用 [ u ‾ 1 , u 2 , ⋯ , u i − 1 , u i 1 , ⋯ , u j , ⋯ , u n ] \begin{bmatrix}\overline u_1,u_2,\cdots,u_{i-1},u_{i1},\cdots,u_j,\cdots,u_n \end{bmatrix} [u1,u2,⋯,ui−1,ui1,⋯,uj,⋯,un]替换 [ u ‾ 1 , u 2 , ⋯ , u i − 1 , u j u i 1 , ⋯ , u j , ⋯ , u n ] \begin{bmatrix}\overline u_1,u_2,\cdots,u_{i-1},u_{j}u_{i1},\cdots,u_j,\cdots,u_n \end{bmatrix} [u1,u2,⋯,ui−1,ujui1,⋯,uj,⋯,un] 那么相应的要将位移列阵中第 i i i行归属 u j u_j uj合并到第 j j j列那么平衡方程变换为 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 i − 1 k 1 i 1 ⋯ k 1 i θ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 i − 1 k 2 i 1 ⋯ k 2 i θ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 θ T k i 2 ⋯ θ T k i i − 1 θ T k i i 1 ⋯ θ T k i i θ θ T k i j ⋯ θ T k i n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 k j 1 θ T k i 2 k j 2 ⋯ θ T k i i − 1 k j i − 1 θ T k i i 1 k j i 1 ⋯ θ T k i i θ k j i θ θ T k i j k j j ⋯ θ T k i n k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i − 1 k n i 1 ⋯ k n i θ k n j ⋯ k n n ] n × ( n − 1 ) [ u ‾ 1 u 2 ⋮ u i − 1 u i 1 ⋮ u j ⋮ u n ] ( n − 1 ) × 1 [ R 1 F 1 F 2 ⋮ θ T F i − f j ⋮ F j θ T F i ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1i-1}k_{1i1}\cdotsk_{1i}\theta k_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2i-1}k_{2i1}\cdotsk_{2i}\thetak_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}\theta^Tk_{i2}\cdots\theta^Tk_{ii-1}\theta^Tk_{ii1} \cdots\theta^Tk_{ii}\theta\theta^Tk_{ij}\cdots\theta^Tk_{in}\\ \vdots\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}k_{j1}\theta^Tk_{i2}k_{j2}\cdots\theta^Tk_{ii-1}k_{ji-1}\theta^Tk_{ii1} k_{ji1}\cdots\theta^Tk_{ii}\thetak_{ji}\theta\theta^Tk_{ij}k_{jj}\cdots\theta^Tk_{in}k_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni-1}k_{ni1}\cdotsk_{ni}\thetak_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix}_{n\times (n-1)} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\u_{i-1}\\u_{i1}\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}_{(n-1)\times 1}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\\theta^TF_i-f_j\\\vdots\\F_j\theta^TF_i\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮θTki1⋮θTki1kj1⋮kn1k12k22⋮θTki2⋮θTki2kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯k1i−1k2i−1⋮θTkii−1⋮θTkii−1kji−1⋮kni−1k1i1k2i1⋮θTkii1⋮θTkii1kji1⋮kni1⋯⋯⋯⋯⋯k1iθk1jk2iθk2j⋮θTkiiθθTkij⋮θTkiiθkjiθθTkijkjj⋮kniθknj⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮θTkin⋮θTkinkjn⋮knn n×(n−1) u1u2⋮ui−1ui1⋮uj⋮un (n−1)×1 R1F1F2⋮θTFi−fj⋮FjθTFi⋮Fn 事实上如果位移列阵自由度为 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)那么相应的方程也只需要 ( n − 1 ) (n-1) (n−1)个因此我们去掉第 i i i方程那么平衡方程变成 [ k 11 k 12 ⋯ k 1 , i − 1 k 1 , i 1 ⋯ k 1 i θ k 1 j ⋯ k 1 n k 21 k 22 ⋯ k 2 , i − 1 k 2 , i 1 ⋯ k 2 i θ k 2 j ⋯ k 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k i − 1 , 1 k i − 1 , 2 ⋯ k i − 1 , i − 1 k i − 1 , i 1 ⋯ k i − 1 , i θ k i − 1 , j ⋯ k i − 1 , n k i 1 , 1 k i 1 , 2 ⋯ k i 1 , i − 1 k i 1 , i 1 ⋯ k i 1 , i θ k i 1 , j ⋯ k i 1 , n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ θ T k i 1 k j 1 θ T k i 2 k j 2 ⋯ θ T k i , i − 1 k j , i − 1 θ T k i , i 1 k j , i 1 ⋯ θ T k i i θ k j i θ θ T k i j k j j ⋯ θ T k i n k j n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ k n 1 k n 2 ⋯ k n i − 1 k n i 1 ⋯ k n i θ k n j ⋯ k n n ] ( n − 1 ) × ( n − 1 ) [ u ‾ 1 u 2 ⋮ u i − 1 u i 1 ⋮ u j ⋮ u n ] ( n − 1 ) × 1 [ R 1 F 1 F 2 ⋮ F i − 1 F i 1 ⋮ F j θ T F i ⋮ F n ] \begin{bmatrix}k_{11}k_{12}\cdotsk_{1,i-1}k_{1,i1}\cdotsk_{1i}\theta k_{1j}\cdotsk_{1n}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{2,i-1}k_{2,i1}\cdotsk_{2i}\thetak_{2j}\cdotsk_{2n}\\ \vdots\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots\\ k_{i-1,1}k_{i-1,2}\cdotsk_{i-1,i-1}k_{i-1,i1} \cdots k_{i-1,i}\theta k_{i-1,j}\cdotsk_{i-1,n}\\ k_{i1,1}k_{i1,2}\cdotsk_{i1,i-1}k_{i1,i1} \cdots k_{i1,i}\theta k_{i1,j}\cdotsk_{i1,n}\\ \vdots\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots\\ \theta^Tk_{i1}k_{j1}\theta^Tk_{i2}k_{j2}\cdots\theta^Tk_{i,i-1}k_{j,i-1}\theta^Tk_{i,i1} k_{j,i1}\cdots\theta^Tk_{ii}\thetak_{ji}\theta\theta^Tk_{ij}k_{jj}\cdots\theta^Tk_{in}k_{jn}\\ \vdots\vdots \vdots\vdots \vdots \vdots\\ k_{n1}k_{n2}\cdotsk_{ni-1}k_{ni1}\cdotsk_{ni}\thetak_{nj}\cdotsk_{nn}\\\end{bmatrix}_{(n-1)\times (n-1)} \begin{bmatrix}\overline u_1\\u_2\\\vdots\\u_{i-1}\\u_{i1}\\\vdots\\u_j\\\vdots\\u_n \end{bmatrix}_{(n-1)\times 1}\begin{bmatrix}R_1F_1\\F_2\\\vdots\\F_{i-1}\\F_{i1}\\\vdots\\F_j\theta^TF_i\\\vdots\\F_n \end{bmatrix} k11k21⋮ki−1,1ki1,1⋮θTki1kj1⋮kn1k12k22⋮ki−1,2ki1,2⋮θTki2kj2⋮kn2⋯⋯⋯⋯⋯⋯k1,i−1k2,i−1⋮ki−1,i−1ki1,i−1⋮θTki,i−1kj,i−1⋮kni−1k1,i1k2,i1⋮ki−1,i1ki1,i1⋮θTki,i1kj,i1⋮kni1⋯⋯⋯⋯⋯⋯k1iθk1jk2iθk2j⋮ki−1,iθki−1,jki1,iθki1,j⋮θTkiiθkjiθθTkijkjj⋮kniθknj⋯⋯⋯⋯⋯⋯k1nk2n⋮ki−1,nki1,n⋮θTkinkjn⋮knn (n−1)×(n−1) u1u2⋮ui−1ui1⋮uj⋮un (n−1)×1 R1F1F2⋮Fi−1Fi1⋮FjθTFi⋮Fn 将上式写成分块矩阵形式 [ k 11 K 12 K 21 K 22 ] [ u ‾ 1 U 2 ] [ R 1 F 1 F ^ ] \begin{bmatrix}k_{11}K_{12}\\K_{21}K_{22} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}\overline u_{1}\\U_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}R_{1}F_{1}\\ \hat F \end{bmatrix} [k11K21K12K22][u1U2][R1F1F^] 将其展开 k 11 u ‾ 1 K 12 U 2 R 1 F 1 K 21 u ‾ 1 K 22 U 2 F ^ k_{11}\overline u_{1}K_{12}U_{2} R_{1}F_{1}\\ K_{21}\overline u_{1}K_{22}U_{2}\hat F k11u1K12U2R1F1K21u1K22U2F^ 那么 U 2 U_{2} U2可以从下式求解 U 2 K 22 − 1 ( F ^ − K 21 u ‾ 1 ) U_{2}K_{22}^{-1}(\hat F - K_{21}\overline u_{1}) U2K22−1(F^−K21u1) 那么有 R 1 k 11 u ‾ 1 K 12 U 2 − F 1 R_{1}k_{11}\overline u_{1}K_{12}U_{2}-F_{1} R1k11u1K12U2−F1 同时在确定 u j u_{j} uj后将其回代入下式 [ u i ] [ θ 1 ] [ u j ] \begin{bmatrix}u_{i}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\theta_1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}u_{j}\end{bmatrix} [ui][θ1][uj] 可以确定 u i u_{i} ui那么就确定全部节点位移带入平衡方程可以得到 f i 、 f j f_{i}、f_{j} fi、fj解得所有未知量。
