深圳php电商网站开发,免费建站的,超级大气的一款工作室网站制作网络科技公司站点源码直接可用,银川网站设计怎么样相似矩阵#xff1a;存在可逆矩阵 P P P#xff0c;使得 P − 1 A P B P^{-1} A PB P−1APB#xff0c;则称矩阵 A A A#xff0c; B B B 相似#xff0c;特征值相等。注意只有相似矩阵 B B B 是对角阵#xff0c;我们才说它是可以相似对角化的。 A A A 可以相似对角…相似矩阵存在可逆矩阵 P P P使得 P − 1 A P B P^{-1} A PB P−1APB则称矩阵 A A A B B B 相似特征值相等。注意只有相似矩阵 B B B 是对角阵我们才说它是可以相似对角化的。 A A A 可以相似对角化 ⇔ 充要条件 \overset{充要条件}{\Leftrightarrow} ⇔充要条件 是 A A A 有 n n n 个线性无关的特征向量且对角线的值就是特征值。 A A A 可以正交对角化 ⇔ 充要条件 \overset{充要条件}{\Leftrightarrow} ⇔充要条件 是 A A A 是实对称矩阵。对称矩阵对应于不同特征值的特征向量是正交的这就可以构造出单位正交基满足 P T P^T PT P − 1 P^{-1} P−1。
矩阵等价对同型矩阵 A A A、 B B B存在可逆阵 P P P 和 Q Q Q使得 B P A Q BPAQ BPAQ
矩阵合同对同型方阵 A A A、 B B B存在可逆阵 P P P 使得 B P A P T BPAP^T BPAPT
下面是为什么初等行变换不改变矩阵秩的说明
定义 R n \mathbb{R}^{n} Rn 中的一个子空间是 R n \mathbb{R}^{n} Rn 中的集合 H H H具有以下三个性质 a. 零向量属于 H H H. b .对 H H H 中任意的向量 u \boldsymbol{u} u 和 v \boldsymbol{v} v, 向量 u v \boldsymbol{u}\boldsymbol{v} uv 属于 H H H c. 对 H H H 中任意向量 u \boldsymbol{u} u 和数 c c c, 向量 c u c\boldsymbol{u} cu 属于 H H H.
定义 矩阵 A A A 的列空间记为 Col A \operatorname{Col} A ColA是 A A A 的各列的线性组合的集合。
若 A [ a 1 ⋯ a n ] A\left[\boldsymbol{a}_{1} \cdots \boldsymbol{a}_{n}\right] A[a1⋯an]它们各列属 则 和 相同。注意仅当 的列生成时 Col A 等千贮否则 Col A 仅是丁的一部分。
定义 矩阵 A A A 的零空间是齐次方程 A x 0 A \boldsymbol{x}\mathbf{0} Ax0 的所有解的集合记为 Nul A \operatorname{Nul} A NulA .
定义 矩阵 A A A 的秩记为 rank A \operatorname{rank} A rankA是 A A A 的列空间的维数。 max { R ( A ) , R ( B ) } ≤ R ( A , B ) ≤ R ( A ) R ( B ) \max \{R(A), R(B)\} \leq R(A, B) \leq R(A)R(B) max{R(A),R(B)}≤R(A,B)≤R(A)R(B) R ( A B ) ≤ R ( A ) R ( B ) R(AB) \leq R(A)R(B) R(AB)≤R(A)R(B) r ( A ) r ( B ) − n r ( A B ) min { r ( A ) , r ( B ) } r(A)r(B)-nr(A B)\min \{r(A), r(B)\} r(A)r(B)−nr(AB)min{r(A),r(B)}
公式的证明可以参考高等代数北大版第五版第四章附加题第10题学习网址。 A B [ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ] [ β 1 β 2 ⋮ β n ] [ a 11 β 1 a 12 β 2 ⋯ a 1 n β n a 21 β 1 a 22 β 2 ⋯ a 2 n β n ⋮ a m 1 β 1 a m 2 β 2 ⋯ a m n β n ] [ γ 1 γ 2 ⋮ γ m ] \boldsymbol{A} \boldsymbol{B}\left[\begin{array}{cccc} a_{11} a_{12} \cdots a_{1 n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2 n} \\ \vdots \vdots \vdots \\ a_{m 1} a_{m 2} \cdots a_{m n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\beta}_{1} \\ \boldsymbol{\beta}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\beta}_{n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} a_{11} \boldsymbol{\beta}_{1}a_{12} \boldsymbol{\beta}_{2}\cdotsa_{1 n} \boldsymbol{\beta}_{n} \\ a_{21} \boldsymbol{\beta}_{1}a_{22} \boldsymbol{\beta}_{2}\cdotsa_{2 n} \boldsymbol{\beta}_{n} \\ \vdots \\ a_{m 1} \boldsymbol{\beta}_{1}a_{m 2} \boldsymbol{\beta}_{2}\cdotsa_{m n} \boldsymbol{\beta}_{n} \end{array}\right]\left[\begin{array}{c} \boldsymbol{\gamma}_{1} \\ \boldsymbol{\gamma}_{2} \\ \vdots \\ \boldsymbol{\gamma}_{m} \end{array}\right] AB a11a21⋮am1a12a22⋮am2⋯⋯⋯a1na2n⋮amn β1β2⋮βn a11β1a12β2⋯a1nβna21β1a22β2⋯a2nβn⋮am1β1am2β2⋯amnβn γ1γ2⋮γm
定义 R n \mathbb{R}^{n} Rn 中子空间 H H H 的一组基是 H H H 中一个线性无关集它生成 H H H. e 1 [ 1 0 ⋮ 0 ] , e 2 [ 0 1 ⋮ 0 ] , ⋯ , e n [ 0 ⋮ 0 1 ] \boldsymbol{e}_{1}\left[\begin{array}{c} 1 \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \boldsymbol{e}_{2}\left[\begin{array}{c} 0 \\ 1 \\ \vdots \\ 0 \end{array}\right], \cdots, \boldsymbol{e}_{n}\left[\begin{array}{c} 0 \\ \vdots \\ 0 \\ 1 \end{array}\right] e1 10⋮0 ,e2 01⋮0 ,⋯,en 0⋮01 { e 1 , ⋯ , e n } \left\{\boldsymbol{e}_{1}, \cdots, \boldsymbol{e}_{n}\right\} {e1,⋯,en} 称为 R n \mathbb{R}^{n} Rn 的标准基。
定理13 矩阵 A A A 的主元列构成 A A A 的列空间的基
子空间的维数
可以证明若子空间 H H H 有一组基包含 p p p 个向量则 H H H 的每个基都正好包含 p p p 个向量.
可以假设向量 b 1 , … , b p \boldsymbol{b}_{1}, \ldots, \boldsymbol{b}_{p} b1,…,bp 生成一个子空间 W W W令 { a 1 , ⋯ , a q } \left\{\boldsymbol{a}_{1}, \cdots, \boldsymbol{a}_{q}\right\} {a1,⋯,aq} 是任一 W W W 中包含多于 p p p 个向量的向量集。可以证明存在 u \boldsymbol{u} u使得 A u 0 A \boldsymbol{u}\mathbf{0} Au0。 n n n 阶行列式的定义 基于 逆序数 τ \tau τ如果一个较大的数排在一个较小的数 前就称这两个数构成一个逆序这个排列中所有逆序的总个数称为逆序数。所有取自不同行不同列的 n n n 个元乘积的代数和 ∣ A ∣ ∣ a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ a n 1 a n 2 ⋯ a n n ∣ ∑ j 1 , j 2 , ⋯ , j n ( − 1 ) τ ( j 1 , j 2 , ⋯ , j n ) a 1 j 1 a 2 j 2 ⋯ a n j n |\boldsymbol{A}|\left|\begin{array}{cccc} a_{11} a_{12} \cdots a_{1 n} \\ a_{21} a_{22} \cdots a_{2 n} \\ \vdots \vdots \vdots \vdots \\ a_{n 1} a_{n 2} \cdots a_{n n} \end{array}\right|\sum_{j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}}(-1)^{\tau\left(j_{1}, j_{2}, \cdots, j_{n}\right)} a_{1 j_{1}} a_{2 j_{2}} \cdots a_{n j_{n}} ∣A∣ a11a21⋮an1a12a22⋮an2⋯⋯⋮⋯a1na2n⋮ann j1,j2,⋯,jn∑(−1)τ(j1,j2,⋯,jn)a1j1a2j2⋯anjn ∣ A ∣ 0 |A|0 ∣A∣0 是奇异矩阵它的列向量线性相关。 定理
令 A 是一个方阵
若 A A A 某一行的倍数加到另一行得到矩阵 B B B则 d e t A d e t B \mathrm{det~}A\mathrm{det~}B det Adet B。若 A A A 的两行互换得到矩阵 B B B则 d e t A − d e t B \mathrm{det~}A- \mathrm{~det~}B det A− det B若 A A A 的某一行乘以 k k k 倍得到矩阵 B B B则 d e t A k ⋅ d e t B \mathrm{det~}Ak\cdot \mathrm{det~}B det Ak⋅det B
向量空间
设 V V V 是由 n n n 维向量构成的非空集合且满足
对于任意的 α , β ∈ V \alpha, \beta \in V α,β∈V有 α β ∈ V \alpha\beta \in V αβ∈V对于任意的 α ∈ V \alpha\in V α∈V 以及任意的实数有 k α ∈ V k\alpha\in V kα∈V
则称集合 V V V 为 n n n 维向量空间 即 一个非空n 维向量的集合 V V V 耍构成一个向量空间 必须满足加法和数乘运算的封闭性。
定义 向量空间的子空间除了乘法和加法的封闭性之外还需要额外满足零向量在子空间中。
向量空间的基
如果向量空间 V V V 中的 m m m 个向量 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,⋯,αm 满足 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,⋯,αm 线性无关 V V V 中的任一向量 α \alpha α 都可由 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,⋯,αm 线性表示
则称向量组 α 1 , α 2 , ⋯ , α m \alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m α1,α2,⋯,αm 为向量空间 V V V 的一个基且基向量的个数 m m m 称为向量空间 V 的维数记为 d i m V \mathrm{dim~}V dim V 坐标系设 A { α 1 , α 2 , ⋯ , α m } \mathcal{A}\{\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_m\} A{α1,α2,⋯,αm} 是 m m m 维向空间 V V V 的一个基 对 β ∈ V \beta\in V β∈V有 β x 1 α 1 x 2 α 2 ⋯ x m α m \betax_{1} \alpha_{1}x_{2} \alpha_{2}\cdotsx_{m} \alpha_{m} βx1α1x2α2⋯xmαm
则称坐标向量 ( x 1 , x 2 , ⋯ , x m ) T (x_1,x_2,\cdots,x_m)^T (x1,x2,⋯,xm)T 为 β \beta β 在基 A \mathcal{A} A 下的坐标。 特征值的性质 det ( A − λ I ) a 0 a 1 λ … a n λ n \operatorname{det}(A-\lambda I)a_{0}a_{1} \lambda\ldotsa_{n} \lambda^{n} det(A−λI)a0a1λ…anλn
根据韦达定理设复系数一元 n n n 次方程 a n x n a n − 1 x n − 1 ⋯ a 1 x a 0 0 a_{n} x^{n}a_{n-1} x^{n-1}\cdotsa_{1} xa_{0}0 anxnan−1xn−1⋯a1xa00 的根为 x 1 , x 2 , ⋯ , x n x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n} x1,x2,⋯,xn则成立 x 1 x 2 ⋯ x n ∑ i 1 n x i − a n − 1 a n x 1 x 2 ⋯ x n ∏ i 1 n x i ( − 1 ) n a 0 a n \begin{aligned} x_{1}x_{2}\cdotsx_{n}\sum_{i1}^{n} x_{i}-\frac{a_{n-1}}{a_{n}} \\ x_{1} x_{2} \cdots x_{n}\prod_{i1}^{n} x_{i}(-1)^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} \end{aligned} x1x2⋯xnx1x2⋯xni1∑nxi−anan−1i1∏nxi(−1)nana0
根据该定理可以很容易得到两个结论 ∏ i 1 n λ i ∣ A ∣ \prod_{i1}^{n} \lambda_{i}|A| ∏i1nλi∣A∣ ∑ i 1 n a i i ∑ i 1 n λ i \sum_{i1}^{n} a_{i i}\sum_{i1}^{n} \lambda_{i} ∑i1naii∑i1nλi
