网站建设一般报价多少,企业网站货物查询怎么做,电商运营培训班,网站建设图标素材免费#xff08;作者 田刚#xff09; 时间#xff1a;2015年11月1日 地点#xff1a;北京大学北京国际数学研究中心 主题#xff1a;未来论坛“理解未来”讲座北大专场#xff1a;庞加莱猜想与几何 田刚#xff1a; 非常高兴能够有这个机会来参加未来论坛讲演。我今天要讲的…作者 田刚 时间2015年11月1日 地点北京大学北京国际数学研究中心 主题未来论坛“理解未来”讲座北大专场庞加莱猜想与几何 田刚 非常高兴能够有这个机会来参加未来论坛讲演。我今天要讲的是庞加莱猜想与几何的关系。我先说明一下要讲我现在做的研究确实是比较困难的在座可能只有一部分人能听懂如果讲一大堆公式可能效果也不好。今天更多讲一点数学的历史希望给大家传递一个信息数学是有用的。我讲的庞加莱猜想其实现在还没有实际应用但整个数学发展的过程对人的思维、对自然和真理的追求都是非常重要的事。 庞加莱猜想提出的时间很长得到更多公众的注意是因为克莱Clay数学研究所在本世纪初的时候悬赏7个重大问题并不是说这7个问题就是数学中仅有的问题也不是说它们就是最重要的但是这7个问题确实是非常重要的问题其中一个就是庞加莱猜想。 这在数学里是有传统的。上世纪初1900年的第一届国际数学家大会上大卫•希尔伯特提出23个历史性数学难题对数学上百年的发展起到非常重要的作用。克莱研究所悬赏这7个问题也是受此启发的。解决大卫•希尔伯特的23个问题中任何一个可以拿数学大奖所以是有一定的激励作用。 庞加莱 庞加莱1854-1912是法国著名数学家他也是理论科学家和科学哲学家。1904年庞加莱提出了著名的庞加莱猜想在100多年时间里一直困扰着全世界的数学家。庞加莱猜想的出现与几何学的发展紧密相关。我在今天首先回顾历史。 数学尤其是几何学所涉及对象就是普遍而抽象的东西。它们同生活中的事物有关但是又不来自于这些具体的事物因此在古希腊学习几何被认为是寻求真理的最有效的途径。据说柏拉图学院门口写着不习几何者不得入内。古希腊的几何地位是非常高的。 毕达哥拉斯 毕达哥拉斯约公元前569年—公元前475年是古希腊著名的哲学家、数学家和天文学家其思想和学说对希腊文化产生了巨大的影响。在数学方面毕达哥拉斯有一个著名的定理西方叫毕达哥拉斯定理在中国叫勾股定理。当时毕达哥拉斯还提出了地圆说他觉得地球是圆的这是非常了不起的事。2500多年前大家生活区域非常小所见之处基本可以说是平坦的怎么能想象地球是圆的这一点是毕达哥拉斯学派一个非常了不起的地方他们不仅猜到地球是圆的甚至想出一个办法测地球的直径跟现在的测量相差不是很大。 希帕蒂娅 在欧几里得以前人们已经积累了许多几何学的知识然而缺乏系统性。在公元前300年左右欧几里得完成了《几何原本》一书。这本书非常著名对我学数学也有很大的影响。在我上小学的时候当时很多时间不上课在家自学的有几本书其中一本就是《几何原本》。公元前100年考古发现了一份《几何原本》拓片。古希腊有记载的第一个女数学家叫希帕蒂娅她是著名数学家也是天文学家、哲学家。希帕蒂娅和父亲一起对《几何原本》进行修订。在西方艺术作品中也有这位女数学家的形象她死得比较惨由于她的学说、文本和观点跟当时基督教产生很多思想上的冲突她当时被报复处死。她终身未嫁她是嫁给了科学。 《几何原本》 《几何原本》全书分13卷有5条“公理”或“公设”、23个定义和467个命题。欧几里得由公理、公设和定义出发严格推导出命题。当时这些定理都是没有实际用处的纯粹是逻辑推理和演绎但是非常漂亮。比如讲其中严格论证了毕达哥拉斯定理即“勾股定理”直角三角形斜边平方等于两直角边平方之和。在公元前约3000年的古巴比伦人就知道和应用勾股定理还知道许多勾股数组。考古文献中有一个泥版最大勾股数是185411270913500这个数肯定不是测量出来这应该古巴比伦人思考得出来的因为不可能靠测量出来当时的技术水平测不了这么大的数。古埃及人也应用过勾股定理。在中国商朝的商高提出了“勾三股四弦五”的勾股定理特例。在西方据说最早提出并证明这一定理的是公元前六世纪的毕达哥拉斯但他是如何证明这个定理的我们找不到了。这个严格证明出现在《几何原本》里。 《几何原本》中的最亮的一个结果是欧几里得证明了只有五种正多面体并给出了它们的作法。柏拉图学派认为世界是由五种元素组成它们对应了五种正多面体用现代数学语言是对应五种对称群。这些完全从抽象思维得出来的东西非常漂亮。 欧几里得 欧几里得几何学成为用公理化方法建立起来的数学演绎体系的最早典范。在之后的2000多年间这一严格的思维形式不仅用于数学也用于其它科学甚至用于神学哲学和伦理学中产生了深远的影响。但是其似乎显然的“平行公设”所谓“通过一已知点能作且仅能作一条直线与已知直线平行 ”却遭到质疑。 这是什么原因呢欧几里得《几何原本》有五条公设其他是定义定义是明确要研究东西是什么意思从公设和定义出发推导整个平面几何的定理。公设中前四条都很容易看第五公设相比不那么显而易见。第五公设是否能作为公设还是应作为定理 这就是最著名的、争论了长达2000多年的关于“平行线理论”的争论。从逻辑推理来说这一条公设是不是从其他四条公设推出来很多人做这方面研究历史长河中可以搜到很到历史上著名数学家研究这个问题。这是一个纯学术问题。 在1830年左右俄国数学家罗巴切夫斯基、匈牙利数学家雅诺什发现了第五公设不可证明创立了非欧几何学。其实第五公设根本不需要一样可以做几何。可以有平面几何也可以有非欧几何。雅诺什在研究非欧几何学的过程中曾遭到了家庭、社会的冷漠对待。他的父亲、数学家鲍耶•法尔•卡什一辈子研究这个问题没有任何进展他不希望儿子走他的老路认为他的研究是耗费精力劳而无功的蠢事。高斯也发现第五公设不能证明并且研究了非欧几何。高斯是著名的数学家他不敢发表害怕因此对他的名声有影响。因为当时平面几何、欧式几何是大家普遍接受的东西突然说有一种几何不是欧式几何一下子难以被人接受。 庞加莱圆盘 简单说一下如非欧几何模型之一的庞加莱圆盘模型所示过“直线”外一点可以做出无数条与该“直线””“平行”的“直线”当时是非常新的几何现在看这个几何非常有用之后还会看到有很多非欧几何的应用。埃舍尔1959年完成的木刻版画“圆极限 III”在有限的画面中表现无穷“画面中的鱼比喻成从边缘发射而来的火箭它们从无穷的远处发射而来经过圆的中心又慢慢地游回千里之外”。这个相当于一个艺术作品用一些非欧几何直线画出来的东西比平面几何还好看更丰富。自然界非欧几何也存在像大堡礁的珊瑚有的珊瑚呈现非欧几何的形状。 木刻版画“圆极限 III”与大堡礁珊瑚 大约过了20多年1854年黎曼Riemann,G.F.B.1826—1866发明了黎曼几何今明两年很多地方纪念黎曼逝世150年。黎曼是德国数学家他是高斯的学生早期不做几何而是做分析的。当时在德国拿到博士以后不一定能够做讲师、教授做教授还要经过教授资格考试。黎曼是高斯的学生非常聪明高斯想试试他看看到底有多聪明让他做几何问题结果他就创立了黎曼几何。他引进了流形和度量的概念并且证明曲率是度量的唯一内涵不变量。欧几里得几何非欧几何都属黎曼几何。前者是平坦曲率的情形后者曲率为负。黎曼告诉大家有更多种的几何有一个度量就是一种几何以前平面几何只是其中非常特殊的一种。一个曲线的曲率可以看到它的弯曲程度。总的来说曲率测量曲面或者空间的弯曲程度有时候需要考虑更高维的空间这个时候它的曲率也是可以定义的。黎曼还有一个贡献考虑抽象空间概念的时候我们可能看不到这些空间三维空间在我们这个空间里面是看不到的但曲率确实存在。我们举一个例子在广义相对论中宇宙一切物质的运动都可以用曲率来描述引力场实际上就是一个弯曲的时空。一个著名的事件是爱丁顿日全食它证实了爱因斯坦的理论光线“弯曲”了。我们可以看到太阳后面的恒星为什么能看到就是因为在这个空间直线实际上是弯曲的太阳有很大的引力造成空间弯曲所以曲率确实是存在的。 黎曼 几何学的进一步发展产生了很多新的数学分支拓扑学是其中一支但它与通常的平面几何、立体几何不同拓扑学对于研究对象的长短、大小、面积、体积等度量性质和数量关系都无关。比如一个茶杯的表面和一个救生圈的表面是一样的它的形状可以不一样但拓扑性质是一样的。拓扑有一个好处就是特别的稳定形状变了以后拓扑性质仍不变看上去是非常抽象的东西或者跟以前想象得几何不一样的东西现在量子计算就用到了拓扑不变性。 拓扑学猜想 庞加莱猜想就是拓扑学著名的研究问题之一它给出最简单的三维空间即三维球面的拓扑刻画。1904年法国数学家亨利•庞加莱提出了一个拓扑学的猜想任何一个单连通的闭的三维流形一定同胚于一个三维的球面。 3维球面的拓扑刻画 一百年多来庞加莱猜想的研究是拓扑学发展的重要动力包括上世纪6070年代高维空间的拓扑分类8090年代四维空间微分结构的研究。但很多基本问题尚未解决。低维空间的拓扑仍是非常活跃的研究领域。它与物理紧密联系。举几个例子1960年S. Smale将其推广到任意维并解决了5维及5维以上的广义庞加莱猜想。1982年M. Freedman解决了4维的广义庞加莱猜想。1980年W. Thurston提出了一般3维空间的几何化猜想庞加莱猜想是几何化猜想的自然推论。他还验证了一大类3维空间确实满足他的猜想。虽然这类空间不包括庞加莱猜想但为庞加莱猜想成立提供了强有力的证据。 球极投影 如前所说庞加莱猜想给出3维球面的拓扑刻画。那3维球面有何特别性质呢我们不可能直观地看到3维球面因为我们所在空间就是3维不可能把3维球面放在我们所熟悉的3维空间中但是我们可以通过类比的方法想象3维球面通过2维球面来想象、刻画或理解3维球面的可能性质。那2维球面有什么特别性质呢假如说我站在北极点作投影2维球面可以看成是平面加上一个对应北极点的无穷远点。类似的我们可以用数学推导给出一个3维球面到我们生活的3维空间的球极投影。所以3维球面可以等同于我们生活的3维空间加上一个无穷远点。这在数学上可以严格确定。 两个圆盘粘合成一个2维球面 还有一种看法拓扑学从两个圆盘开始然后形变——拓扑学不关心形状只要是连续的形变就不会改变拓扑的性质——通过形变得到两个半圆半圆的边界粘合起来就得到球面。类似于我们包饺子。也就是说2维球面是两个圆盘沿着边界粘起来的样子。我们就可以想象3维球面就是把两个3维球体沿着边界也就是二维球面粘合而成数学上确实如此。 3维球面描述一3维空间加上无穷远的点 所以3维球面有两个特殊描述一个描述是3维空间加上无穷远的点另外一个是两个实体球沿着边界——边界是2维球粘合起来。这两个描述看上去非常简单实际上背后还是隐藏着很多东西。第一个说法说明3维球面是单联通的。一个2维球里面有一个洞一定可以填满也就是说2维球面是单连通的即球面上每个圆盘都界一个拓扑圆盘或直观地说2维球面没有孔。像2维球面的情形一样3维球面也是单连通的即3维球面没有孔它上面的每一圆圈都可收缩到一点。我们可以用3维球面的第一种刻画证明这个性质。对3维球面上任给的圆圈去掉圆圈外一个点后剩余部分等同于我们所在的、没有孔的三维空间。因此给定圆圈可收缩到一点 也就是说3维球面是单连通的。 我们刚才说明了3维球面是单联通的即没有孔而庞加莱猜想说如果一个3维空间没有孔单联通的那么它一定是3维球面。这个问题的证明要难得多。一百年来拓扑学家是如何去设法证明庞加莱猜想的呢经典途径是什么 我们从曲面讲起曲面是二维的因为局部地我们可以用两个数字来描述曲面上的点。有三个洞的曲面或者是一个洞的曲面把里面填满就成为一个3维实体都可以坐落在我们生活的3维空间里并且都是一个3维实体的边界。我们称这样的3维实体为实心环柄体。曲面和实心环柄体的亏格是孔的数量。 3维球面描述二两个实体球沿着边界——边界是2维球粘合起来 3维球面的第二种刻画表明它是通过粘合两个3维球体整个边界而得到。这在数学中称为3维球面一个0亏格的环柄体分解即3维球面可以环柄体都是没有孔的而分解。实际上在上世纪50、60年代证明的就知道任何没有边界的闭3维空间都能够通过粘合两个一定亏格孔的数量的环柄体的整体边界而成。这就是数学上已经严格证明的3维空间环柄体分解定理。 亏格为1的环柄体分解 但是分解不是唯一的。一个3维空间可以有不同亏格的环柄体分解。我们可以从已知的3维球面亏格为0的环柄体分解出发构造出3维球面亏格为1的环柄体分解。从3维球面出面这两个实体球分解实体中间打一个洞出来把打出来的部分弯一下与被挖洞的第一个球再接起来会得到新的环柄体相当于制作茶杯的办法。这样做的东西实际上整体物质没变但最终得到一个3维球面的亏格为1的环柄体分解。你还可以做亏格为2的实际上只要想象力足够丰富沿这个方法做下去就不难得出任何亏格的环柄体分解。 高亏格的曲面的结构比2维球面更复杂会有许多不同的方式来把它们粘合在一起这样会得到许多不同的3维空间。但是只有一种办法将2维球面同自身粘合就是有亏格为0的环柄体分解的3维空间一定是3维球面。如果我们能找到一个方法使给定单连通的3维空间分解为两个3维球体则它一定是3维球面从而解决了庞加莱猜想。这个想法很简单但是做起来很难一百年来拓扑学家都在寻找这一方法。 最早研究庞加莱猜想的有影响力的数学家可能是J. Whitehead。1930年他宣称给出了一个证明随后发现了错误主动撤销了这个证明。但在此过程中他发现了一些单连通、非紧的但不能等同于欧几里得3维空间的有趣例子。 在20世纪50年代与60年代期间许多有影响力的数学家诸如Bing、Haken、Moise和Papakyriakopoulos常简称Papa先后尝试着去解决猜想。但都被发现他们想给的证明有缺陷。 Christos Papakyriakopoulos 特别要提一下Papa这个希腊数学家他是1948年来到普林斯顿大学访问后来留下来工作。他在二战时参加过游击队希腊二战的时候有左派有流亡政府还有当时跟纳粹合作的政权他参加的左派组织在山里打游击。那时候他自学了很多数学特别是代数拓扑。后来证明了三个非常重要的定理Dehn引理闭路定理以及球面定理这些都是三维拓扑的基础性工作。他因此获得1964年美国设立的第一个Veblen几何奖。Papa从上世纪60年代初起就开始研究庞加莱猜想他完全意识到他的努力不一定会有结果但是他坚持一边做数学一边听音乐人也是非常聪明的。据说他生活非常有规律每天8点吃早饭8点半到办公室11点半吃中饭3点半参加tea time4点或者去听报告或者回到办公室做数学。这样他坚持研究庞加莱猜想直到他1976年因病去世。他后来留在美国很可能因为当时希腊的左派受到打压他的老师工作都没有了所以他要自谋出路后来到了美国就没有回去过。当时还有一个有趣的插曲上世纪50年代希腊安全部门因他的左倾活动要美国政府把他遣送回国当时普林斯顿大学不同意保护了他他对于普林斯顿大学还是非常感激的。 庞加莱猜想最终的解决依赖于微分几何和分析的方法最重要的工具是R.Hamilton提出的里奇曲率流。R. Hamilton证明了里奇曲率流的许多基础性结果并给出了解决Thurston三维流形几何化猜想的纲领。他也解决了庞加莱猜想的一些特别情形但他无法克服一些关键技术问题。有趣的是普林斯顿大学与庞加莱猜想有很深的渊源。无论是尝试过而未成功的数学家中还是对最终解决做出突出贡献的数学家中许多都在普林斯顿大学工作或学习过如J. WhiteheadPapakyriakopoulosR.Hamilton等等。 Perelman 最终解决这个问题的人是PerelmanPerelman在2002年11月12日在网上公布了自己的结果并给多个数学家发了电子邮件告知他有关证明的一篇论文。之后半年中他又发布了两篇系列论文。在这三篇文章中他概述了庞加莱猜想以及更一般的Thurston几何化猜想的证明从而实现了Hamilton提出的纲领。 Perelman的证明用到了过去50年甚至更长时间微分几何中的许多重要进展但最终解是他完成的他的解中间牵涉到很多数学家的工作包括非负曲率空间的分类黎曼几何的紧性理论热传导方程的Harnack型估计曲率下方有界空间的塌缩理论极小曲面理论等等。 Perelman的证明缺少细节令人很难读懂验证工作十分困难。经过几组数学家的大约两年时间的努力终于补齐了庞加莱猜想的证明细节。虽然Perelman的证明有些漏洞但都可以修复。Thurston几何化猜想的证明验证工作更曲折一点。就在2012年R.Bamler还发现Perelman的证明以及他人补的细节都忽视了一个重要的技术问题幸运的是利用Perelman的思路可以设法解决这一问题。R. Bamler还证明了比Thurston几何化猜想更广的一个深刻几何定理。他2011年毕业于普林斯顿大学。 后来我们知道在2010年3月18日 Clay研究所将首个Millennium奖授予Perelman。 但他没有参加2010年6月8日在巴黎举行的颁奖仪式。这个会我当时也在去了很多数学家。他于2010年7月拒绝了Millennium奖。之前在2006年他还拒绝了世界数学家大会颁发的Fields奖。Perelman认为“大家应该理解如果证明是对的那么其它的认可都是不需要的。”这是很好的一句话科学成果本身的价值是最重要的。但是Perelman是否又犯了一个小错这就不知道了并非每人都能这么想。 Perelman问题解决以后还有很多遗留的问题最最突出的就是光滑的4维庞加莱猜想虽然M. Freedman于1982年解决了4维的广义庞加莱猜想但我们不知是否“存在一个光滑的4维空间它同胚于一个4维球面但不微分同胚于4-球面”。这被称为光滑的4维庞加莱猜想依然未被解决并且被认为是十分困难的。这是现在数学中非常重要的一个问题怎么样确定光滑结构有没有微分几何的方法都是很多数学家尝试回答的问题也是现在数学中非常重要的问题。1957年J.Milnor 在7维找到28个“怪球”表明光滑的庞加莱猜想在7维是不成立的。 CT 上述的几何研究属基础数学它开始都不是以“有用”为动力的都是在追求一种真理。但实际上却是极为“有用”的几何在我们生活中用处很多。我举一个例子大家都经常听到的CT计算机辅助X射线断层成像仪简称CT医生通过它可以观察到人体内部微小的病变和病灶分布能够及早采取正确的治疗措施。CT成像技术归功于Godfrey Hounsfield和南非出生Allan McLeod Cormack。它的数学基础是Radon变换。Radon变换在被发现的最初并没有马上得到应用但这并不意味着它没有意义和价值。 所以数学是非常有用的只不过有些研究结果暂时还没得到实际应用。 谢谢大家。 田刚简介 1958年11月生于江苏南京。1982年毕业于南京大学数学系。1984年获北京大学硕士学位。1988年获美国哈佛大学数学博士学位。2001年当选为中国科学院院士。2004年当选为美国人文与科学院院士。 解决了一系列几何学及数学物理中的重要问题 特别是在Kahler-Einstein度量研究中做了开创性的工作。完全解决了复曲面情形引进了K-稳定性的概念并建立该度量与几何稳定性的紧密联系。2012年,证明Yau-Tian-Donaldson猜想 从而解决了Kahler-Einstein度量存在性这个60年来悬而未决的世界数学难题。在辛几何方面是Gromov-Witten不变量理论的奠基人之一。这一理论是处于辛几何、代数几何和物理中的超弦理论之间的交叉学科。与人合作建立了量子上同调理论的严格的数学基础首次证明了量子上同调的可结合性解决了辛几何Arnold猜想的非退化情形。在高维规范场数学理论研究中也有杰出成就建立了自对偶Yang-Mills联络与标度几何间的深刻联系。对解决著名的庞加莱猜想也做出了重要贡献。还在曲率流的研究中取得了重大进展并开辟了新的研究方向。 1994年获美国国家科学基金第19届沃特曼奖。1996年获美国数学会韦伯伦奖。2002年应邀在世界数学家大会上作一小时大会报告。转载于:https://www.cnblogs.com/Eufisky/p/9648465.html
