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三角形(性质、特殊三角形、全等与相似)
性质 由不在同一直线的三条线段首尾依次连接所组成的图形三条边、三个内角、三个定点三角形内角和为180度,外角和为360度,多边形的外角和为360度,n多边形的内角和为(n-2)*180度一个外角等于不相邻的两个内角之和任意…平面几何(平均2题)
三角形(性质、特殊三角形、全等与相似)
性质 由不在同一直线的三条线段首尾依次连接所组成的图形三条边、三个内角、三个定点三角形内角和为180度,外角和为360度,多边形的外角和为360度,n多边形的内角和为(n-2)*180度一个外角等于不相邻的两个内角之和任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,即大角对大边,等角对等边三角形的两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边边长的一半三角形面积S1/2ah1/2absinC 当已知条件仅说明三条边的长度,那就需要使用海伦公式S根号下p(p-a)(p-b)(p-c),其中p1/2(abc)三角形四心 内心三角形内角平分线的交点(即三角形内切圆的圆心,到三角形三边的距离相等)外心三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心,到三个顶点距离相等)重心三条中线的交点垂心三条高线的交点等边三角形四心合一,等腰三角形底边四线合一三角形面积考点 两个三角形 同底等高,则面积相等同底不等高,面积比等于高之比等高不同底,面积比等于底之比蝶形定理(针对梯形) 梯形ABCD中,下底与上底之比为k,即CD:ABk:1 若蝴蝶头部SabeS,则蝴蝶腰部SadeSbeckS,蝴蝶尾部SdecK^2S即蝴蝶腰部*蝴蝶腰部蝴蝶头部*蝴蝶尾部(即三部分面积成等比数列)三角形分类 直角三角形 勾股定理(等价于外国称为毕达哥拉斯)a^2b^2c^2(a^2b^2c^2表示锐角三角形,反之为钝角三角形)射影定理 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,即高^2射影1*射影2每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项(直角边^2斜边*射影)等腰直角三角形 边长关系比为1:1:根号下2面积公式S1/2a^21/4c^2a为直角边,c为斜边锐角为30度的直角三角形30度对边的边长为斜边一半,三边关系为1根号下3:2等腰三角形 四线合一: 底边高、中线、垂直平分线、顶角角平分线120度的等腰三角形,三边比例为1:1根号下3,如果腰长为a,则面积S根号下3/4 *a^2等边三角形 四心合一面积S根号下3/4 *a^2三角形全等、相似 全等两个全等三角形的对应边相等、对应角相等 判定全等的充分条件 两个三角形有两条边及其夹角对应相等(SAS)两个三角形有2个角及其夹边对应相等(ASA)两个三角形3条边对应相等(SSS)相似 性质两个相似三角形面积比相似比平方判定充分条件 两个三角形有一个内角对应相等,其两条夹边对应成比例两个三角形有2个内角对应相等两个三角形的3条边对应成比例 四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形)
平行四边形性质 平行四边形对边相等对角相等,对角线互相平分一对对边平行且相等的四边形S平行四边形ah(底*高),周长C2(ab)菱形性质 有一组邻边相等的平行四边形四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形,即菱形菱形的对角线互相垂直且平分顶角S菱形1/2L1*L2(L1、L2为两对角线的长)矩形性质 两对角线相等且互相平分S矩形长*宽正方形性质 正方形的对角线互相垂直且平分顶角Sa^2梯形性质 一对对边平行梯形两腰中点连线称为梯形的中位线且1/2(上底下底)S梯形1/2(上底下底)*高等腰梯形性质 两条腰相等或者两个底角相等两条对角线相等若两对角线相互垂直,则高与中位线长度相等 圆
定义/性质 平面上与定点o距离等于定长r的动点轨迹称为圆,点o为圆心,r为半径S圆πr^2C圆2πr连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径圆上任意两点间的部分叫做圆弧,大于半圆叫做优弧,小于半圆叫做劣弧定点在圆上的角,它的两边分别与圆还有另外一个交点称为圆周角一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半直径所对的圆周角为90度,90度圆周角所对的弦是直径圆内两条圆弧相等,圆弧所对应的两组圆心角相等,两组圆周角也相等,即等弧对等角圆的切线与圆的半径在切点出垂直从圆外一点作圆的切线两条切线相等垂直定理 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对应的圆弧
扇形
角的弧度 360度2π180度π...扇形面积n/360度*πr^2(n为扇形对应的圆心角角度,r为扇形半径)弓形面积S扇形-S三角形 立体几何(平均1题)
长方体
性质 6个面,12条棱,8个角V体积abcS面积2(abacbc)体对角线d根号下a^2b^2c^2
正方体
性质 S面积棱长*棱长*66a^2,V体积a^3体对角线根号下3*a同时也是正方体中最长的线段
圆柱体
性质 V体积底面积*高πr^2*hS侧面积2πrh,S全面积侧面积底面积2πrh2πr^2L对角线根号下(h^2(2r)^2)
球体
性质 R为球上一点到球心的距离,直径d2RV体积4/3πR^3S表面积4πR^2 解析几何(平均2题)
平面直角坐标系
重点掌握两点间距离公式以及中点公式 平面直线
直线的倾斜角与斜率 倾斜角直线与x轴正方向的夹角a,0a180度斜率k反映直线的倾斜程度,记为ktana(y2-y1)/(x2-x1)(a!90度)常见的两者对应关系 tan00tan1800tan451tan135-1tan60根号下3;tan120-根号下3直线方程常见形式 直线的点斜式y-y0k(x-x0)表示斜率为k且过点(x0,y0)的一条直线直线的斜截式ykxb表示斜率为k且与y轴相交于点(0,b)的直线,其中称b为直线的纵截距直线一般方程axbyc0(a与b不全为0) 若a0方程为水平直线y -c/b若b0方程为竖直直线x -c/a若c0直线过原点(0,0)若b!0则方程可写为y-a/bx-c/b,直线斜率k-a/b,纵截距y-c/b,横截距x-c/a两直线位置关系 点到直线的距离公式 常用的对称关系 圆(直线与圆、圆与圆关系)
圆的方程 标准方程:以O(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-a)^2(y-b)^2r^2一般方程x^2y^2DxEyF0《》(xD/2)^2(yE/2)^2D^2E^2-4F/4 可以得到圆心坐标O(-D/2-E/2)半径r根号下(D^2E^2-4F)/2 直线与圆的关系 圆与圆的关系 排列组合(平均1题)
加法与乘法原理
分类计数原理(加法原理)完成一件事,有n类办法,每类有多种方法,那么完成这件事的方法每一类拥有的方法进行相加求和分步计数原理(乘法原理)完成一件事,需要分成n个步骤,每步有多种方法,那么完成这件事的方法每一步拥有的方法进行相乘求积核心区别能独立直接完成的属于分类计数(加法原理),不能直接完成需要分步完成的属于分步计数(乘法原理)
组合与组合数 排列与排列数 排列组合步骤 先取后排先选取出元素,然后再进行排列元素,不要边取边排(容易做错) 依次进行按照一定的先后顺序排列 事情完成整个事情必须完成
排列组合秒杀思路
相邻问题/打包捆绑法 该方法主要解决若干个元素相邻问题考题常见自然语言描述紧挨着、相邻、一起...解题思路优先解决特殊要求的元素,并捆绑打包成一个整体 不相邻方法/插空法 该方法主要解决若干个元素不相邻问题考题常见自然语言描述不挨着、不相邻、不能连续...解题思路优先安排无任何要求的元素,再把特殊元素放入空位 分房法(高频考点) 不同元素分配给不同的对象,对于分配对象分配的元素个数无限制考题常见自然语言描述 n个人去往m个不同的房间个球放入m个不同的盒子n封信放入m个不同的信箱解题思路n个不同元素(指数位置)分配给m个位置(底数位置)对象,有m^n种方法 技巧题目中只要出现每”字,则紧跟着它的就是元素,即位于指数位置 隔板法 相同元素分配给不同的对象,每个对象至少分到1个考题常见自然语言描述 n颗相同糖果分给m个小朋友,每人至少一个n个相同的球分给m个不同的盒子,每个盒子至少分一个小球n张相同的奖状分给m个不同的班级,每个班级至少一张奖状解题思路n个相同元素分配给m个不同对象,有C(m-1)(n-1)种方法 对号不对号 不对号问题 2个不对号,有1种方法3个不对号,有2种方法4个不对号,有9种方法5个不对号,有44种方法 特殊元素问题 一个元素具备两个属性或多个属性,选取时要注意全能元素的归属考题常见自然语言描述 某人既会英语又会法语某人既会唱歌又会跳舞解题思路对全能元素进行分类讨论,含与不含全能元素的分类 局部元素定序法 当把n个元素进行排序的时候,其中若有m个元素是按照一定顺序已经定序考题常见自然语言描述 甲乙丙从高到低甲乙丙3人按照年龄大小解题思路此时就要把其中m个元素的顺序去掉,有多少就除以多少,定序公式Ann/Amm 局部元素相同法 当对n个元素进行排序时,出现m个元素是完全相同的情况考题常见自然语言描述 几个字母排序时出现3个A挂旗时出现相同颜色的旗帜,如3面红旗解题思路根据所有元素数量的阶乘,除以相同元素数量的阶乘,有多少除以多少,定序公式Ann/Amm 分堆与分配问题(高频考点) 若分堆出现相同数量的堆数,则要除以相同堆数的阶乘,以消除排序,若题目要求对元素进行分配,则一定先分堆再分配 成双问题/配对问题 主要是以手套、袜子或鞋子等成双的物品作为对象,核心在于选取物品是否成双 成双问题直接选取成双即可不成双问题先取双,再在双中取单只 概率(平均1题)
随机事件相关概念
随机试验 实验可在相同的条件下重复进行可能结果不止一个,且所有可能结果已知每次实验出现的哪个结果是未知的如掷骰子,观察出现的点数不可能事件概率是0,必然事件概率是1,随机事件概率(0,1)事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件即AB事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件即AB
概率定义与分类
事件A的概率是指随机事件A发生可能性大小的度量值记作P(A)
古典概型定义与分类
满足古典概型的条件 所有基本事件是有限个数各基本事件发生的可能性相同古典概型之摸球问题/取样问题 古典概型之分房问题 古典概型之数字问题 独立事件 独立重复试验/贝努力公式 数据描述(平均1题)
均值与方差 应用题(平均5题)
比例问题
按比例分配把一个数按照一定比分成若干份百分数问题表示一个数是另一个数的百分之几的数
利润问题
利润售价-进价(成本)利润率利润/进价(售价-进价)/进价售价进价*1利润率【即售价是进价的(1利润率)倍盈亏对应利润率的正负】
工程问题
主要分析工作量、工作效率和工作时间三者之间关系工作量工作时间*工作效率(工作量未说明时当做1)工作时间工作量/(甲工作效率乙工作效率xxx工作效率...)
行程问题
相遇问题
两个运动物体同时由两地出发相向而行在途中相遇解题思路为根据如下公式找等量关系,优先设速度 相遇时间总路程/速度(如v甲v乙)总路程速度和(如v甲v乙) * 相遇时间
追击问题(环形追击时,每追上一次则多跑一圈)
两个运动物体作同向运动在一定时间内后面物体追上前面物体解题思路为根据如下公式找等量关系 追击时间追击路程/速度(快速-慢速)追击路程速度(快速-慢速)*追击时间
列车问题
列车行驶运动要考虑列车车身长度解题思路为根据如下公式找等量关系 火车过桥过桥时间(车长桥长) / 车速火车追击追击时间(甲车长乙车长距离) /甲车速-乙车速火车相遇相遇时间(甲车长乙车长距离) /甲车速乙车速
行船问题
船只航行问题,需要注意船速和水速,顺水航行时速度为船速和水速之和,逆水航行时速度为船速与水速之差解题思路为根据如下公式找等量关系V顺水 V船 V水V逆水 V船 - V水 (V顺水 V逆水) / 2 船速(V顺水 - V逆水) / 2 水速 浓度问题
溶剂、溶质、溶液以及浓度的关系根据如下公式找等量关系 溶液溶剂溶质(核心溶质不会变)浓度溶质/溶液*100%(核心溶质不会变) 最值问题
实际生活中,经常追求以最小的代价取得最大的效果或效益,即最值问题表现形式就是根据方程求最大值或最小值 二次函数方f(x)ax2 bx c模型,利用开口和对称轴(x-b/2a)求最值 a0开口向上,有最小值,反之开口向下有最大值若知道二次函数根,则直接取两根中点处为最值均值不等式模型,利用均值不等式求最值 x2y22xyx y 2根号下xy当且仅当xy时等号成立一正(x0,y0),二定(即xy或xy为定值)三相等(xy才会取到最值)
