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1.笛卡儿积 由两个元素x和y按照一… 集合论这一章内容很多重点是二元关系中关系矩阵关系图和关系性质:自反、反自反、对称、反对称、传递以及关系闭包的运算等价关系偏序关系哈斯图真吓人
1.笛卡儿积 由两个元素x和y按照一定顺序排列成的二元组称作一个有序对记为x,y就是说x和y是有顺序的不能随意调换所以要想两个有序对相等当且仅当对应位置的元素相等 设AB为集合用A中元素为第一元素B中元素为第二元素构成有序对所有这样的有序对组成的集合称作A和B的笛卡儿积记为AxB。并不需要知道为什么这样定义只需要知道我们把A集合的元素取出来放在二元组的第一位B集合的元素取出来放在第二位所有这样二元组组成的集合就是A和B的笛卡儿积。 很显然因为二元组是有序对所以笛卡儿积德运算并不满足交换律和结合律分配律是没问题的
2.二元关系 如果一个集合满足以下条件之一 1集合非空所有元素都是有序对 2集合是空集 则称该集合为一个二元关系简称关系对于二元关系R如果x,y属于R则记为xRy 设AB为集合AxB的任何子集所定义的二元关系称作从A到B的二元关系。二元关系就是两个元素之间的关系。 什么意思呢其实很好理解就是A和B所组成的任何有序对都可以看作是A中元素和B中元素产生的联系我们可以找到一个关系来使这两个元素产生联系。二元关系其实就是一个集合这个集合里面包含了所有满足这个关系的有序对。比如我们说A上的恒等关系就是找出满足两个元素相等的有序对这个有序对可以理解成两个元素之间的前后关系如果顺序变了也就不满足这个关系了所以才叫有序对。所以我认为应该先有了二元关系的概念才有了有序对之后才出现了笛卡儿积来定义有序对组成的集合。其实AxB的所有子集都存在联系两个元素之间的关系只是能不能找到的问题二元关系就是表示两个东西之间有联系并且说明是怎么联系的联系的方式是什么 另外两个集合的笛卡尔积是遍历了所有的“对”之所以是子集是因为上述“联系的描述”可能对某些对有效对某些对无效。也就是我们平时说的这一对有关系这一对没关系。 理解了这个之后我们再看什么全域关系恒等关系小于等于关系整除关系包含关系就很简单了。
2.1全域关系 恒等关系 小于等于关系 整除关系 恒等关系 : IA { x , x ∣ x ∈ A } 全域关系 : E A A × A { x , y ∣ x ∈ A ∧ y ∈ A } , 任何两个元素之间都有关系 ; 小于等于关系: LA{x,y∣x∈A∧y∈A∧x≤y} 整除关系 : DA{x,y∣x∈A∧y∈A∧x∣y} 我们还可以定于大于关系小于关系大于等于关系等等
2.2描述关系的三种方法 有集合表达式关系矩阵和关系图集合表达式就是上面的 关系矩阵 比如 A { a , b , c } R 1 { a , a , a , b , b , a , b , c } 则R1的关系矩阵为 关系图 图片转至http://t.csdnimg.cn/J2CcU 关系图也是来说明两个元素之间是否存在某个关系
3.关系运算 (1)逆运算 从关系图来看就是把边的方向反过来即可 从关系矩阵来看就是把矩阵进行转置操作 (2)复合运算 就是把B中同时和A、C产生关系的元素找出来相当于给A和C中的元素搭了个桥 (3)限制和像 R在A上的限制就是说在R中找第一个元素属于A的有序对A在R下的像就是R在A上的限制的值域。 (4)关系的n次幂 关于R^2的关系矩阵的计算是RxR的其中第一行第一列的元素是第一个矩阵的第一行元素与第二个矩阵第一列对应位置的元素相乘完之和再相加得到的第二行第三列的元素是第一个矩阵的第二行元素与第二个矩阵的第三列对应位置的元素相乘完之和再相加得到的。R^3R^n都是这样计算的。
2.关系的性质
2.1自反与反自反 注意这里是对任意的x都要满足或者不满足这个关系才能说R在A上是自反或者非自反的比如 其中A{123}对于R2来说对于任意的123都满足1,1,2,2,3,3属于R则R在A上是自反的而对于R3来说任意x都不满足这个关系所以是非自反的对于R1有的满足有的不满足属于高不成低不就所以既不是自反的也不是非自反的总的来说自反就是全都满足反自反就是全都不满足
2.2对称与反对称 对称很好理解反对称怎么理解就是说如果对任意的x和y有xy都属于A且x不等于yxy属于R我们可以推出yx不属于R我们就说R在A上是反对称的。总的来说对称就是全都满足反对称就是全都不满足。
2.3传递 这个很好理解跟复合有点像y也是给x和z搭了个桥。
