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最近在【编程德鲁伊】的【傅里叶级数可视化】章节中#xff0c;练习了傅里叶级数基础原理的可视化#xff0c;演示了周期方波曲线#xff0c;可以分解为一系列正弦波曲线#xff1a;
这次拿学到的知识做个实验#xff0c;试试喜闻乐见的【用傅里叶级数画…前言
最近在【编程德鲁伊】的【傅里叶级数可视化】章节中练习了傅里叶级数基础原理的可视化演示了周期方波曲线可以分解为一系列正弦波曲线
这次拿学到的知识做个实验试试喜闻乐见的【用傅里叶级数画画】并尽可能简单直观的解释一下原理。
自认为简单直观的原理解释
之前练习的可视化都是在二维空间进行例如正弦波
方波通过傅里叶级数
图中左半边的圆周Epicycle和右半边正弦波/方波的关系左半边是一个运动点在一个圆周或多个圆周组合上随着时间t转动
右半边是将时间t映射到横轴x轴上纵轴仍是运动点当前的y值保持不变。
也就是说把时间域转换为空间域就能从一个圆周得到正弦曲线或者从一系列圆周组合得到方波曲线。
我们把方波可视化左右两边的运动点轨迹也画出来左半边由一系列圆周Epicycle组成的轨迹与右半边的方波Square轨迹其实只是同一个运动点在不同空间里的展现方式而已。
豁然开朗有没有此处插入打赏掌声
为了说的更清楚一些接下来把空间域从二维换到三维时间t不再映射到x轴而是映射到z轴上
上图从正面看过去仍是一个圆周而在三维空间里旋转坐标轴从侧面看过去时它实际上就是一个正弦曲线。
方波的也一样
正面的橙色轨迹转换角度从侧面看就是方波的曲线。
再次豁然开朗有没有
进一步根据傅里叶级数原理为了得到方波橙色就要想办法得到组成方波的一系列正弦波金黄色
换一个视角为了得到最终的运动轨迹橙色就要想办法得到组成轨迹的一系列Epicycle圆周金黄色
而这个橙色的运动轨迹可以是各种形状也就是说无论想画什么图形只要按照傅里叶级数的原理找到一系列Epicycle圆周就可以画出来了
金猪报喜
傅里叶本尊
怎么样这样去理解傅里叶级数画画的原理是不是容易了一些
接下来要解决的就是如何为“任意”图案找到对应的一组Epicycle圆周的问题。
从数学上讲就是求傅里叶级数里每个子项对应的傅里叶系数a和b
各项系数a和b都找到后合起来就可以得到f(x)。
求傅里叶系数的方法有很多积分、傅里叶变换等。
详细的原理推导我还没有复习重修所以对于如何把大象装冰箱的回答仍然是
1.打开冰箱门2.把大象装进去3.关门。
直接对图案轨迹进行傅里叶变换即可得到傅里叶系数。
而在计算机程序里所有的数据都是离散的所以实际上程序里用的是离散傅里叶变换。
关于这个环节参考资源较多尤其是用Web前端/JavaScript/p5.js做的不少列在后面。
本文的配图和动画是用 Blender Python 完成
等等老乡还没完。
从上图里傅里叶的配色就能看出我其实原本是打算画 Miku 酱的初音未来
然而码到用时方恨不会关于傅里叶画画这个问题其实更难的是找到合适的图案轨迹并不是随便一个图都能轻松画出来的这也是为什么上文中我给任意图案的“任意”两字加了引号。
从数学上讲在一些特定条件的约束下一个函数才能用傅里叶级数来表达。
而找出这个图案轨迹的过程复杂度远超用傅里叶级数画轨迹本身。
后面将附上其他高人的文章供参考。
本文投入的精力仅能画简单的轨迹线所以Miku就换成了傅里叶他老人家
最终效果三个视角:
参考资源
Talk is cheap. Show me the code!
本文中提到的傅里叶级数基本原理可视化文章可从公众号菜单“笔记教程-编程德鲁伊”获得。
绝大部分开源在这里
https://github.com/avantcontra/coding-druid
本文傅里叶画画的实验代码可在知识星球中获取感谢已经加入星球的朋友们。
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Contra
