做网站怎么找客户联系方式,店铺logo设计免费在线生成,wordpress手动更新视频,贷款平台推广代理线性代数#xff1a;矩阵基本运算在本文中#xff0c;我们将介绍矩阵的大部分基本运算#xff0c;依次是矩阵的加减法、矩阵的标量乘法、矩阵与矩阵的乘法、求转置矩阵#xff0c;以及深入了解矩阵的行列式运算。本文将不会涉及逆矩阵、矩阵的秩等概念#xff0c;将来再探…线性代数矩阵基本运算在本文中我们将介绍矩阵的大部分基本运算依次是矩阵的加减法、矩阵的标量乘法、矩阵与矩阵的乘法、求转置矩阵以及深入了解矩阵的行列式运算。本文将不会涉及逆矩阵、矩阵的秩等概念将来再探讨它们。矩阵的加减法矩阵的加法与减法运算将接收两个矩阵作为输入并输出一个新的矩阵。矩阵的加法和减法都是在分量级别上进行的因此要进行加减的矩阵必须有着相同的维数。为了避免重复编写加减法的代码我们先创建一个可以接收运算函数的方法这个方法将对两个矩阵的分量分别执行传入的某种运算。然后在加法、减法或者其它运算中直接调用它就行了class Matrix{// ...componentWiseOperation(func, { rows }) {const newRows rows.map((row, i) row.map((element, j) func(this.rows[i][j], element)))return new Matrix(...newRows)}add(other) {return this.componentWiseOperation((a, b) a b, other)}subtract(other) {return this.componentWiseOperation((a, b) a - b, other)}}const one new Matrix([1, 2],[3, 4])const other new Matrix([5, 6],[7, 8])console.log(one.add(other))// Matrix { rows: [ [ 6, 8 ], [ 10, 12 ] ] }console.log(other.subtract(one))// Matrix { rows: [ [ 4, 4 ], [ 4, 4 ] ] }矩阵的标量乘法矩阵的标量乘法与向量的缩放类似就是将矩阵中的每个元素都乘上标量class Matrix{// ...scaleBy(number) {const newRows this.rows.map(row row.map(element element * number))return new Matrix(...newRows)}}const matrix new Matrix([2, 3],[4, 5])console.log(matrix.scaleBy(2))// Matrix { rows: [ [ 4, 6 ], [ 8, 10 ] ] }矩阵乘法当 A、B 两个矩阵的维数是兼容的时候就能对这两个矩阵进行矩阵乘法。所谓维数兼容指的是 A 的列数与 B 的行数相同。矩阵的乘积 AB 是通过对 A 的每一行与矩阵 B 的每一列计算点积得到class Matrix{// ...multiply(other) {if (this.rows[0].length ! other.rows.length) {throw new Error(The number of columns of this matrix is not equal to the number of rows of the given matrix.)}const columns other.columns()const newRows this.rows.map(row columns.map(column sum(row.map((element, i) element * column[i]))))return new Matrix(...newRows)}}const one new Matrix([3, -4],[0, -3],[6, -2],[-1, 1])const other new Matrix([3, 2, -4],[4, -3, 5])console.log(one.multiply(other))// Matrix {// rows:// [ [ -7, 18, -32 ],// [ -12, 9, -15 ],// [ 10, 18, -34 ],// [ 1, -5, 9 ] ]}我们可以把矩阵乘法 AB 视为先后应用 A 和 B 两个线性变换矩阵。为了更好地理解这种概念可以看一看我们的 linear-algebra-demo。下图中黄色的部分就是对红色方块应用线性变换 C 的结果。而线性变换 C 就是矩阵乘法 AB 的结果其中 A 是做相对于 y 轴进行反射的变换矩阵B 是做剪切变换的矩阵。如果在矩阵乘法中调换 A 和 B 的顺序我们会得到一个不同的结果因为相当于先应用了 B 的剪切变换再应用 A 的反射变换转置转置矩阵 由公式 定义。换句话说我们通过关于矩阵的对角线对其进行翻转来得到转置矩阵。需要注意的是矩阵对角线上的元素不受转置运算影响。class Matrix{// ...transpose() {return new Matrix(...this.columns())}}const matrix new Matrix([0, 1, 2],[3, 4, 5],[6, 7, 8],[9, 10, 11])console.log(matrix.transpose())// Matrix {// rows: [// [ 0, 3, 6, 9 ],// [ 1, 4, 7, 10 ],// [ 2, 5, 8, 11 ]// ]// }行列式运算矩阵的行列式运算将计算矩阵中的所有系数最后输出一个数字。准确地说行列式可以描述一个由矩阵行构成的向量的相对几何指标(比如在欧式空间中的有向面积、体积等空间概念)。更准确地说矩阵 A 的行列式相当于告诉你由 A 的行定义的方块的体积。 矩阵的行列式运算如下所示 矩阵的行列式运算如下所示我们的方法可以计算任意大小矩阵(只要其行列的数量相同)的行列式class Matrix{// ...determinant() {if (this.rows.length ! this.rows[0].length) {throw new Error(Only matrices with the same number of rows and columns are supported.)}if (this.rows.length 2) {return this.rows[0][0] * this.rows[1][1] - this.rows[0][1] * this.rows[1][0]}const parts this.rows[0].map((coef, index) {const matrixRows this.rows.slice(1).map(row [ ...row.slice(0, index), ...row.slice(index 1)])const matrix new Matrix(...matrixRows)const result coef * matrix.determinant()return index % 2 0 ? result : -result})return sum(parts)}}const matrix2 new Matrix([ 0, 3],[-2, 1])console.log(matrix2.determinant())// 6const matrix3 new Matrix([2, -3, 1],[2, 0, -1],[1, 4, 5])console.log(matrix3.determinant())// 49const matrix4 new Matrix([3, 0, 2, -1],[1, 2, 0, -2],[4, 0, 6, -3],[5, 0, 2, 0])console.log(matrix4.determinant())// 20行列式可以告诉我们变换时对象被拉伸的程度。因此我们可以将其视为线性变换改变面积的因子。为了更好地理解这个概念请参考 linear-algebra-demo在下图中我们可以看到对红色的 1×1 方形进行线性变换后得到了一个 3×2 的长方形面积从 1 变为了 6这个数字与线性变换矩阵的行列式值相同。如果我们应用一个剪切变换可以看到方形会变成一个面积不变的平行四边形。因此剪切变换矩阵的行列式值等于 1如果行列式的值是负数则说明应用线性变换后空间被反转了。比如在下图中我们可以看到变换前 在 的左边而变换后 在 的右边。如果变换的行列式为 0则表示它会将所有空间都压缩到一条线或一个点上。也就是说计算一个给定矩阵的行列式是否为 0可以判断这个矩阵对应的线性变换是否会将对象压缩到更小的维度去。在三维空间里行列式可以告诉你体积缩放了多少变换行列式等于 0意味着原来的空间会被完全压缩成体积为 0 的空间。如前文所说如果在 2 维空间中变换的行列式为 0则意味着变换的结果将空间压缩成了一条线或一个点而在 3 维空间中变换的行列式为 0 意味着一个物体会被压扁成一个平面如下图所示出处https://juejin.im/post/5d107b00f265da1b67211a21
