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一维小波变换
因为存在 L 2 ( R ) V j 0 ⊕ W j 0 ⊕ W j 0 1 ⊕ ⋯ L^{2}(\boldsymbol{R})V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}1}\oplus\cdots L2(R)Vj0⊕Wj0⊕Wj01⊕⋯#xff0c;所以存在 f ( x ) f(x) f(x)可以在子空间 V j 0 V_{j_0} Vj0…小波变换
一维小波变换
因为存在 L 2 ( R ) V j 0 ⊕ W j 0 ⊕ W j 0 1 ⊕ ⋯ L^{2}(\boldsymbol{R})V_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}}\oplus W_{j_{0}1}\oplus\cdots L2(R)Vj0⊕Wj0⊕Wj01⊕⋯所以存在 f ( x ) f(x) f(x)可以在子空间 V j 0 V_{j_0} Vj0中用尺度函数展开和在子空间 W j 0 W j 0 1 , ⋯ W_{j_0}W_{j_{01}},\cdots Wj0Wj01,⋯中用某些数量的小波函数展开来表示。即 f ( x ) ∑ k c j 0 ( k ) φ j 0 , k ( x ) ∑ j j 0 ∞ ∑ k d j ( k ) ψ j , k ( x ) f(x)\sum_{k}c_{j_0}(k)\varphi_{j_0,k}(x)\sum_{jj_{0}}^{\infty}\sum_{k}d_{j}(k)\psi_{j,k}(x) f(x)k∑cj0(k)φj0,k(x)jj0∑∞k∑dj(k)ψj,k(x) 其中 j 0 j_0 j0 是任意的开始尺度 c j 0 ( k ) c_{j_0}(k) cj0(k)通常称为近似和或尺度系数 d j ( k ) d_j(k) dj(k)称为细节和或小波系数。
由于双正交的性质可得 c j 0 ( k ) ⟨ f ( x ) , φ j 0 , k ( x ) ⟩ ∫ f ( x ) φ j 0 , k ( x ) d x d j ( k ) ⟨ f ( x ) , ψ j , k ( x ) ⟩ ∫ f ( x ) ψ j , k ( x ) d x c_{j_0}(k)\Big\langle f(x),\varphi_{j_0,k}(x)\Big\rangle\int f(x)\varphi_{j_0,k}(x)\mathrm{d}x\\ d_{j}(k)\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x cj0(k)⟨f(x),φj0,k(x)⟩∫f(x)φj0,k(x)dxdj(k)⟨f(x),ψj,k(x)⟩∫f(x)ψj,k(x)dx 转换成离散形式可得 W φ ( j 0 , k ) 1 M ∑ n f ( n ) φ j 0 , k ( n ) W ψ ( j , k ) 1 M ∑ n f ( n ) ψ j , k ( n ) , j ≥ j 0 \begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},k)\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\varphi_{j_{0},k}(n)\\ W_{\psi}(j,k)\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{n}f(n)\psi_{j,k}(n),\quad j\geq j_{0} \end{aligned} Wφ(j0,k)Wψ(j,k)M 1n∑f(n)φj0,k(n)M 1n∑f(n)ψj,k(n),j≥j0 其中 φ j 0 , k ( n ) \varphi_{j_0,k}(n) φj0,k(n) 和 ψ j , k ( n ) \psi_{j,k}(n) ψj,k(n)是基函数 φ j 0 , k ( x ) \varphi_{j_0,k}(x) φj0,k(x) 和 ψ j , k ( x ) \psi_{j,k}(x) ψj,k(x) 的取样形式。
由此可得 f ( n ) 1 M ∑ k W φ ( j 0 , k ) φ j 0 , k ( n ) 1 M ∑ j j 0 ∞ ∑ k W ψ ( j , k ) ψ j , k ( n ) f(n)\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{k}W_{\varphi}(j_{0},k)\varphi_{j_{0},k}(n)\frac{1}{\sqrt{M}}\sum_{jj_{0}}^{\infty}\sum_{k}W_{\psi}(j,k)\psi_{j,k}(n) f(n)M 1k∑Wφ(j0,k)φj0,k(n)M 1jj0∑∞k∑Wψ(j,k)ψj,k(n) 通常 j 0 0 j_00 j00 M M M为2 的幂(即 M 2 j ) M2^{j}) M2j)
而对于哈尔小波离散的尺度和小波函数与 M × M M\times M M×M哈尔矩阵的行相对应其中最小尺度为0最大尺度为 j − 1 j-1 j−1
快速小波变换
对于图像的多分辨率变换 φ ( x ) ∑ n h φ ( n ) 2 φ ( 2 x − n ) \varphi(x)\sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2x-n) φ(x)n∑hφ(n)2 φ(2x−n) 并进行尺度化与平移操作可得 φ ( 2 j x − k ) ∑ n h φ ( n ) 2 φ ( 2 ( 2 j x − k ) − n ) ∑ m h φ ( n ) 2 φ ( 2 j 1 x − 2 k − n ) \begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) \sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ \sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j1}x-2k-n) \end{aligned} φ(2jx−k)n∑hφ(n)2 φ(2(2jx−k)−n)m∑hφ(n)2 φ(2j1x−2k−n) 令 m 2 k n m2kn m2kn可得 φ ( 2 j x − k ) ∑ n h φ ( n ) 2 φ ( 2 ( 2 j x − k ) − n ) ∑ m h φ ( n ) 2 φ ( 2 j 1 x − 2 k − n ) ∑ m h φ ( m − 2 k ) 2 φ ( 2 j 1 x − m ) \begin{aligned} \begin{aligned} \varphi(2^{j}x-k) \sum_{n}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi\left(2(2^{j}x-k)-n\right)\\ \sum_{m}h_{\varphi}(n)\sqrt{2}\varphi(2^{j1}x-2k-n) \\ \sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j1}x-m) \end{aligned} \end{aligned} φ(2jx−k)n∑hφ(n)2 φ(2(2jx−k)−n)m∑hφ(n)2 φ(2j1x−2k−n)m∑hφ(m−2k)2 φ(2j1x−m) 同理对于小波函数存在 ψ ( 2 j x − k ) ∑ m h ψ ( m − 2 k ) 2 φ ( 2 j 1 x − m ) \psi(2^{j}x-k)\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j1}x-m) ψ(2jx−k)m∑hψ(m−2k)2 φ(2j1x−m) 其中将 ψ j , k ( x ) 2 j / 2 ψ ( 2 j x − k ) \psi_{j,k}(x)2^{j/2}\psi(2^{j}x-k) ψj,k(x)2j/2ψ(2jx−k)代入 d j ( k ) ⟨ f ( x ) , ψ j , k ( x ) ⟩ ∫ f ( x ) ψ j , k ( x ) d x d_{j}(k)\Big\langle f(x),\psi_{j,k}(x)\Big\rangle\int f(x)\psi_{j,k}(x)\mathrm{d}x dj(k)⟨f(x),ψj,k(x)⟩∫f(x)ψj,k(x)dx可得 d j ( k ) ∫ f ( x ) 2 j / 2 ψ ( 2 j x − k ) d x d_{j}(k)\int f(x)2^{j/2}\psi(2^{j}x-k)\mathrm{d}x dj(k)∫f(x)2j/2ψ(2jx−k)dx 又因为 ψ ( 2 j x − k ) ∑ m h ψ ( m − 2 k ) 2 φ ( 2 j 1 x − m ) \psi(2^{j}x-k)\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j1}x-m) ψ(2jx−k)∑mhψ(m−2k)2 φ(2j1x−m)
所以存在 d j ( k ) ∫ f ( x ) 2 j / 2 [ ∑ m h ψ ( m − 2 k ) 2 φ ( 2 j 1 x − m ) ] d x ∑ m h ψ ( m − 2 k ) [ ∫ f ( x ) 2 ( j 1 ) / 2 φ ( 2 j 1 x − m ) d x ] ∑ m h ψ ( m − 2 k ) c j 1 ( m ) \begin{aligned} d_{j}(k) \int f(x)2^{j/2}\biggl[\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\sqrt{2}\varphi(2^{j1}x-m)\biggr]\mathrm{d}x\\ \sum_{m}h_{\psi}(m-2k)\biggl[\int f(x)2^{(j1)/2}\varphi(2^{j1}x-m)\mathrm{d}x\biggr]\\ \sum_{m}h_{\psi}(m-2k)c_{j1}(m) \end{aligned} dj(k)∫f(x)2j/2[m∑hψ(m−2k)2 φ(2j1x−m)]dxm∑hψ(m−2k)[∫f(x)2(j1)/2φ(2j1x−m)dx]m∑hψ(m−2k)cj1(m) 同理可得 c j ( k ) ∑ m h φ ( m − 2 k ) c j 1 ( m ) c_{j}(k)\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)c_{j1}(m) cj(k)m∑hφ(m−2k)cj1(m) 即 W ψ ( j , k ) ∑ m h ψ ( m − 2 k ) W φ ( j 1 , m ) W φ ( j , k ) ∑ m h φ ( m − 2 k ) W φ ( j 1 , m ) \begin{aligned}W_{\psi}(j,k)\sum_{m}h_{\psi}(m-2k)W_{\varphi}(j1,m)\\ W_{\varphi}(j,k)\sum_{m}h_{\varphi}(m-2k)W_{\varphi}(j1,m)\end{aligned} Wψ(j,k)Wφ(j,k)m∑hψ(m−2k)Wφ(j1,m)m∑hφ(m−2k)Wφ(j1,m) 上式揭示了相邻尺度直接的离散小波变换(DWT)系数之间的关系可以认为是 W φ ( j 1 , m ) , W ψ ( j 1 , m ) W_{\varphi}(j1,m),W_{\psi}(j1,m) Wφ(j1,m),Wψ(j1,m)分别与 h φ ( − n ) , h ψ ( − n ) h_{\varphi}(-n),h_{\psi}(-n) hφ(−n),hψ(−n)进行卷积操作并下采样得到的于是可以写成 W ψ ( j , k ) h ψ ( − n ) ⋆ W ϕ ( j 1 , n ) ∣ n 2 k , k ⩾ 0 W φ ( j , k ) h φ ( − n ) ⋆ W φ ( j 1 , n ) ∣ n 2 k , k ⩾ 0 W_{\psi}(j,k)h_{\psi}(-n)\star W_{\phi}(j1,n)\Big|_{n2k,k\geqslant0}\\\\W_{\varphi}(j,k)h_{\varphi}(-n)\star W_{\varphi}(j1,n)\Big|_{n2k,k\geqslant0} Wψ(j,k)hψ(−n)⋆Wϕ(j1,n) n2k,k⩾0Wφ(j,k)hφ(−n)⋆Wφ(j1,n) n2k,k⩾0 即如下图所示的结构 同时可以经过多次迭代分解如下图是二级分解的结构 二维小波变换
为了将小波变换扩展到适应二维的图像由此定义存在尺度函数 φ ( x , y ) φ ( x ) φ ( y ) \varphi(x,y)\varphi(x)\varphi(y) φ(x,y)φ(x)φ(y) 以及三个对方向敏感的小波函数 ψ H ( x , y ) ψ ( x ) φ ( y ) ψ V ( x , y ) φ ( x ) ψ ( y ) ψ D ( x , y ) ψ ( x ) ψ ( y ) \begin{aligned} \psi^{H}(x,y)\psi(x)\varphi(y) \\ \psi^{V}(x,y)\varphi(x)\psi(y) \\ \psi^{D}(x,y) \psi(x)\psi(y) \end{aligned} ψH(x,y)ψ(x)φ(y)ψV(x,y)φ(x)ψ(y)ψD(x,y)ψ(x)ψ(y) 以上三个小波函数分别对应图像沿着列方向的变换、图像沿着行方向的变换、图像沿着对角线方向的变换
并存在 φ j , m , n ( x , y ) 2 j / 2 φ ( 2 j x − m , 2 j y − n ) ψ j , m , n i ( x , y ) 2 j / 2 ψ i ( 2 j x − m , 2 j y − n ) , i { H , V , D } \begin{array}{c}{{\varphi_{j,m,n}(x,y)2^{j/2}\varphi(2^{j}x-m,2^{j}y-n)}}\\{{\psi_{j,m,n}^{i}(x,y)2^{j/2}\psi^{i}(2^{j}x-m,2^{j}y-n),i\bigl\{H,V,D\bigr\}}}\\\end{array} φj,m,n(x,y)2j/2φ(2jx−m,2jy−n)ψj,m,ni(x,y)2j/2ψi(2jx−m,2jy−n),i{H,V,D} 并可以推导出离散形式的小波变换 W φ ( j 0 , m , n ) 1 M N ∑ x 0 M − 1 ∑ y 0 N − 1 f ( x , y ) φ j 0 , m , n ( x , y ) W ψ i ( j , m , n ) 1 M N ∑ x 0 M − 1 ∑ y 0 N − 1 f ( x , y ) ψ j , m , n i ( x , y ) , i { H , V , D } \begin{aligned} W_{\varphi}(j_{0},m,n)\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x0}^{M-1}\sum_{y0}^{N-1}f(x,y)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y)\\\\ W_{\psi}^{i}(j,m,n)\frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{x0}^{M-1}\sum_{y0}^{N-1}f(x,y)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y),i\{H,V,D\}\end{aligned} Wφ(j0,m,n)Wψi(j,m,n)MN 1x0∑M−1y0∑N−1f(x,y)φj0,m,n(x,y)MN 1x0∑M−1y0∑N−1f(x,y)ψj,m,ni(x,y),i{H,V,D} 其中 j 0 j_0 j0表示任意的开始尺度 W φ ( j 0 , m , n ) W_{\varphi}(j_{0},m,n) Wφ(j0,m,n)表示在尺度为 j 0 j_0 j0时的近似 W ψ i ( j , m , n ) , i { H , V , D } W_{\psi}^{i}(j,m,n),i\{H,V,D\} Wψi(j,m,n),i{H,V,D}表示对尺度为 j 0 j_0 j0时的水平、垂直与对角线方向的细节
当 j 0 0 , M N 2 j j_00,MN2^j j00,MN2j时存在离散小波逆变换 f ( x , y ) 1 M N ∑ m ∑ n W φ ( j 0 , m , n ) φ j 0 , m , n ( x , y ) 1 M N ∑ i H . V . D ∑ j j 0 ∞ ∑ m ∑ n W ψ i ( j , m , n ) ψ j , m , n i ( x , y ) \begin{aligned} f(x,y) \frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{m}\sum_{n}W_{\varphi}(j_{0},m,n)\varphi_{j_{0},m,n}(x,y) \\ \frac{1}{\sqrt{MN}}\sum_{iH.V.D}\sum_{jj_{0}}^{\infty}\sum_{m}\sum_{n}W_{\psi}^{i}(j,m,n)\psi_{j,m,n}^{i}(x,y) \end{aligned} f(x,y)MN 1m∑n∑Wφ(j0,m,n)φj0,m,n(x,y)MN 1iH.V.D∑jj0∑∞m∑n∑Wψi(j,m,n)ψj,m,ni(x,y) 同理可以得到
小波分解过程如图所示 小波逆变换过程如图所示 其小波分解的结果如图所示
