自己做淘宝优惠券网站,杭州微信小程序开发公司排名,seo求职,宁波公司网站开发招聘文章目录 前言一、问题描述二、回答 前言
记录知乎的自问自答。
一、问题描述
我的问题是这样的#xff0c;有两个列向量E和F#xff0c;需要注意的是#xff0c;E和F是连续的#xff0c;可任意插值#xff0c;得到包含其中的子向量。E和F通过一个mn的矩阵联系起来有两个列向量E和F需要注意的是E和F是连续的可任意插值得到包含其中的子向量。E和F通过一个m×n的矩阵联系起来如下 M m × n × E n × 1 F m × 1 M_{m\times n}\times E_{n\times 1}F_{m\times 1} Mm×n×En×1Fm×1现在我通过线性插值的方式得到了E和F的子向量它们长度分别为v和u那么请问我该如何求得矩阵M’使得 M u × v ′ × E v × 1 F u × 1 M_{u\times v}\times E_{v\times 1}F_{u\times 1} Mu×v′×Ev×1Fu×1
二、回答
可能是我表述不明白或者这个问题比较简单思考了两天找到了在一定假设下能够实现我需求的方法这里记录一下。
对于这种要采样的矩阵来说最麻烦的是每行的采样方式因为这是一个相乘再求和的过程在这个基础上对结果进行插值再求矩阵不可避免地会产生问题。好在我这里的实际问题能够在有效的假设下规避这个问题。
既然说E和F都是连续的不妨设存在函数E(x)和F(x)来描述这两个向量。我们从简单的地方出发看看会遇到什么问题先在行方向上采用再处理列方向的采样。
首先我们来计算F的第一行 F 1 M 1 , 1 × E 1 M 1 , 2 × E 2 . . . M 1 , n × E n ∑ j 1 n M 1 , j × E j F_1M_{1,1}\times E_1M_{1,2}\times E_2...M_{1,n}\times E_n\sum_{j1}^{n}{M_{1,j}}\times E_j F1M1,1×E1M1,2×E2...M1,n×En∑j1nM1,j×Ej。既然E和F都是连续的那么不难推断M应当也是连续的可任意插值不妨在第一行上我们用m(x)表示。那么刚才的式子就可以写成 F 1 ∫ 1 n m ( x ) E ( x ) d x F_1\int_{1}^{n}m\left( x \right)E\left( x \right)dx F1∫1nm(x)E(x)dx。
现在我们期望的是从E(x)中任意抽出的序列 E v × 1 E_{v\times 1} Ev×1都能找到对应的m(x)的序列 M 1 × v ′ M_{1\times v} M1×v′继续满足 F 1 ∑ j 1 v M 1 , j ′ × E j F_1\sum_{j1}^{v}{M_{1,j}}\times E_j F1∑j1vM1,j′×Ej。你可能想用拟合的方法求得m(x)但不幸的是m(x)并没有你想的平缓拟合容易出问题而且我的问题对数值比较敏感M矩阵的量级在 1 0 − 5 10^{-5} 10−5贸然拟合恐怕会有比较大的偏差。相对于拟合我更喜欢插值。
我们把视野再缩小一点看看 E v × 1 E_{v\times 1} Ev×1中的某个 E i E_i Ei如何通过插值获得其对应的 M 1 , i ′ M_{1,i} M1,i′呢不失一般性地我们找到 M 1 , i ′ M_{1,i} M1,i′在原始矩阵中临近的两个值m(a)m(b)和它们对应的E(a)E(b)。我们希望的是 ∫ a b m ( x ) E ( x ) d x m ′ ( i ) × E ( i ) \int_{a}^{b}m\left( x \right)E\left( x \right)dxm\left( i \right)\times E\left( i \right) ∫abm(x)E(x)dxm′(i)×E(i)这时我们重要的假设就要登场了。
好在在一个a-b的区间内可以合理假设E是不变的或者该积分的值主要受m(x)影响那么上面的式子就变成了 ∫ a b m ( x ) d x m ′ ( i ) \int_{a}^{b}m\left( x \right)dxm\left( i \right) ∫abm(x)dxm′(i)。至此通过合理的假设完成了M’在行方向上的采样。
那么继续在列方向上的采样就简单得多了直接线性插值即可因为矩阵的每一行之间没有计算。
解决这个问题稍显兴奋写得有些啰里吧嗦感谢您能浪费时间在这个问题上。
