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建网站 维护,毕设做网站心得体验,全网营销新胜天下,微信公众号上微做网站随机过程1概述1.参考书目2.主要内容3.概率论--基本概念回顾3.1对“不确定性”的认识3.2 应对“不确定性”应该怎么做3.3随机变量#xff08;Random Variable#xff09;3.4分布函数#xff08;Distribution Function#xff09;3.5概率密度#xff08;Density#xff09;… 随机过程1概述1.参考书目2.主要内容3.概率论--基本概念回顾3.1对“不确定性”的认识3.2 应对“不确定性”应该怎么做3.3随机变量Random Variable3.4分布函数Distribution Function3.5概率密度Density3.6概率Probability4.随机过程4.1 联合分布4.2分布密度--观察两个变量之间的关联4.3 两种方法定性分析X,Y之间的关系5.总结概述 本系列文章计划总结整理中国科学院大学《随机过程》课程相关知识课程主讲老师张颢 1.参考书目 《随机过程及其应用》–陆大金 张颢 《Probability Random Variables and Stochastic Process》–Dapoulis,4th Edition《Stochastic Process》–S.Ross,2ed Edition 《Introduction to Stachastic Models》,7th Edition 2.主要内容 随机过程主要研究多个随机变量之间的关联关系。关联关系有 关联关系{LinearRelationship(Correlation)线性关系主要研究工具相关Markovproperty研究连续和离散Martingale鞅,随机过程在金融中的应用(选讲)关联关系\left\{ \begin{aligned} Linear Relationship(Correlation) amp;amp;线性关系 主要研究工具相关 \\ Markov property amp;amp; 研究连续和离散 \\ Martingale amp;amp; 鞅,随机过程在金融中的应用(选讲) \end{aligned} \right. 关联关系⎩⎪⎨⎪⎧​LinearRelationship(Correlation)MarkovpropertyMartingale​​线性关系主要研究工具相关研究连续和离散鞅,随机过程在金融中的应用(选讲)​ 3.概率论–基本概念回顾 概率论主要研究随机性/不确定性RandomnessUncertainty。 3.1对“不确定性”的认识 对于一般人来说“某次抛硬币的结果”是不确定的。但是如果一个人熟练的掌握抛硬币整个过程的物理特性如“抛时的用力“”空气动力学”等知识那么他在硬币起抛后对结果是确定的。爱因斯坦曾经说过“引入不确定性是对无知的妥协”。那么我们该如何正确看待不确定性呢对于一般人而言必须明确区分有没有必要/有没有能力 知道不确定性。 3.2 应对“不确定性”应该怎么做 设计统计实验统计实验事先不知道实验结果一次实验会产生一个结果将所有可能的结果放在一起构成样本空间研究每个统计结果可能出现的概率。 StatisticalExperimentlt;gt;SampleSpace(Ω)lt;gt;Probability(Possibility)Statistical Experimentlt;gt;Sample Space(\Omega)lt;gt;Probability(Possibility) StatisticalExperimentSampleSpace(Ω)Probability(Possibility) 概率的重要特性可数可加性 3.3随机变量Random Variable 随机变量是一个函数具有确定的形式是由样本空间-函数值的一个确定的映射。随机变量本身没有随机性具有随机性的是样本空间中的样本点。随机变量的作用是对样本空间中的样本点起量化作用。因为统计实验的结果没有数值意义。如抛硬币实验的结果是“正”、”负“需要将结果进行数值化后才能够进行数学计算。 X:Ω−gt;R(Determined)X:\Omega-gt;R(Determined) X:Ω−R(Determined) 3.4分布函数Distribution Function FXP(X≤x)P({ω:X(ω)≤x})F_XP(X\leq x)P(\{\omega:X(\omega)\leq x\}) FX​P(X≤x)P({ω:X(ω)≤x}) 3.5概率密度Density 概率密度函数为分布函数的导数概率密度函数的两个特性恒大于零、积分为1. fX(x)ddxFX(x)f_X(x)\frac{d}{dx} F_X(x) fX​(x)dxd​FX​(x) 3.6概率Probability P(A)∑x∈AP({x})P(A) \sum_{x \in A} P(\{ x\}) P(A)x∈A∑​P({x}) P(A)∫AfX(x)dxP(A) \int_A f_X(x)dx P(A)∫A​fX​(x)dx 4.随机过程 研究多个随机变量之间的关系以下以两个随机变量X,Y为例简单说明。 4.1 联合分布 X,Y两个随机变量基于同一个样本空间研究两个随机变量的取值之间的相互影响程度。 X,Y:Ω−gt;RX,Y:\Omega-gt;R X,Y:Ω−R P(Xx,Yy)PxyP({ω:X(ω)x}∩{ω:Y(ω)y})P(Xx,Yy)P_{xy}P(\{\omega :X(\omega)x\} \cap \{\omega :Y(\omega)y\}) P(Xx,Yy)Pxy​P({ω:X(ω)x}∩{ω:Y(ω)y}) 4.2分布密度–观察两个变量之间的关联 二元函数的分布函数为联合函数的混合偏导数。分布函数形式确定了两个随机变量之间的取值影响关系下面展示三个简单的例子。 例子1 fXY(x,y){14∣x∣≤1,∣y∣≤10otherwisef_{XY}(x,y)\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{4} amp;amp;|x|\leq1, |y|\leq 1\\ 0 amp;amp; otherwise \\ \end{aligned} \right. fXY​(x,y)⎩⎨⎧​41​0​​∣x∣≤1,∣y∣≤1otherwise​ X在(-1,1) 之间任取一个确定的值时Y的取值范围都是(-1,1)所以不难看出X的取值不影响Y的取值。即两个随机变量之间没有任何关联。 例子2 fXY(x,y){1πx2y2≤10otherwisef_{XY}(x,y)\left\{ \begin{aligned} \frac{1}{\pi} amp;amp;x^2y^2\leq1\\ 0 amp;amp; otherwise \\ \end{aligned} \right. fXY​(x,y)⎩⎨⎧​π1​0​​x2y2≤1otherwise​ X在(-1,1) 之间取一个确定的值时Y的取值范是在变化的所以不难看出X的取值会影响Y的取值。即两个随机变量之间有某种关系。 例子3 下例不考虑概率密度的严格形式图为概率等高线投影图。直观看来此时X,Y之间的关系近似于线性。 三个例子小结 概率密度投影方-圆-椭圆随机变量X,Y之间的关系趋向于线性。那么两者之间的关系可否写出例如yαxy\alpha xyαx的形式 yαxgt;Y?αX(Y(ω)?αX(ω))y\alpha xgt;Y?\alpha X(Y(\omega)?\alpha X(\omega)) yαxY?αX(Y(ω)?αX(ω)) 有两种方法来研究此关系式。 4.3 两种方法定性分析X,Y之间的关系 4.3.1方法1 步骤1 Metric 明确度量 步骤2 Optimization 优化 要考虑上述关系式子是否成立首先要考虑”“是否成立其次比例系数α\alphaα是多少。用d(Y,αX)d(Y,\alpha X)d(Y,αX)表示Y,αXY,\alpha XY,αX之间的距离则目标是将此距离控制在尽可能小的范围内。如果采用均方距离目标函数为: min⁡α(d(Y,αX))min⁡α(E∣Y−αX∣2)\min_{\alpha}(d(Y,\alpha X))\min_{\alpha}(E|Y-\alpha X|^2) αmin​(d(Y,αX))αmin​(E∣Y−αX∣2) g(α)E∣Y−αX∣2g(\alpha)E|Y-\alpha X|^2 g(α)E∣Y−αX∣2 ▽αg(α)▽α(E∣Y∣2α2E∣X∣2−2αE∣XY∣)2αE∣X∣2−2E∣XY∣0\bigtriangledown _\alpha g(\alpha)\bigtriangledown _\alpha(E|Y|^2\alpha ^2E|X|^2-2\alpha E|XY|)2\alpha E|X|^2-2E|XY|0 ▽α​g(α)▽α​(E∣Y∣2α2E∣X∣2−2αE∣XY∣)2αE∣X∣2−2E∣XY∣0 gt;αE∣XY∣E∣X∣2gt;\alpha \frac{E|XY|}{E|X|^2} αE∣X∣2E∣XY∣​ α\alphaα中的E(XY)表征了 随机变量XY之间的相关关系E(XY)为二元函数H∗H−gt;RH*H-gt;RH∗H−R,具有非负、对称、双线性三个性质三个性质的展示缺失。与此同时以上三个性质符合内积的定义。所以E(XY)的几何含义为 E(XY)lt;X,Ygt;E(XY)lt;X,Ygt; E(XY)X,Y 仿照两向量间夹角公式: cos⁡∠(x,y)lt;x,ygt;lt;x,xgt;lt;y,ygt;xTy∣∣x∣∣2∣∣y∣∣2\cos \angle(x,y)\frac{lt;x,ygt;}{lt;x,xgt;lt;y,ygt;}\frac{x^Ty}{||x||_2||y||_2} cos∠(x,y)x,xy,yx,y​∣∣x∣∣2​∣∣y∣∣2​xTy​ cos⁡∠(X,Y)E(XY)E∣X∣2E∣Y∣2(CorrelationCoefficient)\cos \angle(X,Y)\frac{E(XY)}{\sqrt{ E|X|^2E|Y|^2}}(Correlation Coefficient) cos∠(X,Y)E∣X∣2E∣Y∣2​E(XY)​(CorrelationCoefficient) 如果E(XY)0 gt;cos⁡∠(X,Y)π2gt;Orthogonalitygt;\cos \angle(X,Y)\frac{\pi}{2}gt;Orthogonality cos∠(X,Y)2π​Orthogonality 4.3.2 方法2 从几何的角度解释X,Y之间的关系 变量Y拟合直线在水平坐标轴上的投影为 l∣∣Y∣∣cosα∣∣Y∣∣lt;X,Ygt;∣∣X∣∣∣∣Y∣∣lt;X,Ygt;∣∣X∣∣l||Y||cos\alpha||Y||\frac{lt;X,Ygt;}{||X||||Y||}\frac{lt;X,Ygt;}{||X||} l∣∣Y∣∣cosα∣∣Y∣∣∣∣X∣∣∣∣Y∣∣X,Y​∣∣X∣∣X,Y​ l⃗lX∣∣X∣∣lt;X,Ygt;∣∣X∣∣X∣∣X∣∣lt;X,Ygt;∣∣X∣∣2XE(X,Y)E∣X∣2X\vec ll\frac{X}{||X||}\frac{lt;X,Ygt;}{||X||}\frac{X}{||X||}\frac{lt;X,Ygt;}{||X||^2}X\frac{E(X,Y)}{E|X|^2}X ll∣∣X∣∣X​∣∣X∣∣X,Y​∣∣X∣∣X​∣∣X∣∣2X,Y​XE∣X∣2E(X,Y)​X 5.总结 随机过程主要研究多个随机变量之间关系通过各种方法表示这些关系。此文对随机过程的实际应用讨论缺失希望能在此后的文章中填补此块空白。6h)
http://www.huolong8.cn/news/167006/

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