咸宁网站设计,北京it外包公司,微信公众号 上传wordpress,抖音代运营合作两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
正惯性指数是矩阵正特征值个数#xff0c;负惯性指数是矩阵负特征值个数。
即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。
证明#xff1a;
本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵#xff0c;但不限于对称…两个实对称矩阵合同的充要条件是它们的正负惯性指数相同。
正惯性指数是矩阵正特征值个数负惯性指数是矩阵负特征值个数。
即合同矩阵的充分必要条件是特征值的正负号个数相同。
证明
本论证中的所有矩阵先假设为对称矩阵但不限于对称矩阵。
根据定义若矩阵A和矩阵B满足 B P T A P (1.1) B P^T A P \tag{1.1} BPTAP(1.1) 则称A与B合同。
根据对称矩阵的性质可以得出 A Q T Λ Q (1.2) A Q^T \Lambda Q \tag{1.2} AQTΛQ(1.2)
其中 Λ \Lambda Λ既可以是普通的对角矩阵即标准型也可以是规范型即对角元素的绝对值为1。
将1.1带入1.2可得 B P T Q T Λ Q P ( Q P ) T Λ ( Q P ) (1.3) B P^T Q^T \Lambda Q P (QP) ^T \Lambda (Q P)\tag{1.3} BPTQTΛQP(QP)TΛ(QP)(1.3)
假设 Q P R Q P R QPR则1.3可化为 B ( R ) T Λ ( R ) (1.4) B (R) ^T \Lambda (R)\tag{1.4} B(R)TΛ(R)(1.4)
假若对角矩阵 Λ \Lambda Λ是标准型则 Λ \Lambda Λ一定可以利用矩阵乘法化为规范型矩阵。
从1.2和1.4可以得出若A和B满足合同条件1.1等价于合同矩阵有相同的特征值规范型结论得证。
注意 在对称矩阵中合同跟相似是等价的两者能够相互推导。但是在非对称矩阵中合同和相似是不同的。
还是要感谢万能的知乎。
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