手机网站怎么搭建,运城网站建设公司有多少钱,东莞是什么风险等级,阿里巴巴网页版登录入口对于一元二次方程 ,我们由求根公式可得#xff1a;。对于一元三次方程 ,我们有卡尔丹公式法和盛金公式法。不过公式比较冗长、不易计算#xff0c;但我们还是有方法计算的#xff0c;那么如果是一元四次、一元五次甚至更高呢#xff1f;遇到高次方程 我们通常的做法是先用试…对于一元二次方程 ,我们由求根公式可得 。对于一元三次方程 ,我们有卡尔丹公式法和盛金公式法。不过公式比较冗长、不易计算但我们还是有方法计算的那么如果是一元四次、一元五次甚至更高呢遇到高次方程 我们通常的做法是先用试根法(the rational zero test)找到方程一个根c然后根据Factor Theorem可知 。于是我们把P(x)次数降低了只需要找 的根就可以了。如果次数还比较高继续采用试根法找根、降次直至找到所有的根。图试根法这里给出一道例题根据试根法可知根是100的因子从1开始发现 是方程的一个根那么 。接着又发现 是 的根所以得到 。最后得到方程的解为 ,一共有2个有理数根先C。可以发现试根法是一种不错的求解高次方程的方法但是比较繁琐需要找到根才能用如果方程没有实根那么找根的难度就更大了。下面分享两道国际数学竞赛中的高次求根抛砖引玉。2018-美国区域联赛(ARML)-Team Round-14Compute the sum of the real roots of .这是一个一元六次方程问题是要找到所有实数根的和如果是所有根的和那么直接用高次韦达定理就解决了说明还是要把所有的根解出来的。第一道题采用整式合并的方法。因为 ,所以 。因为 不是方程的根所以两边可以同时除 ,可得 。根据对称性可知如果 是方程的一个根那么 也是方程的一个根所以两个实数根的和为 。这道题虽然是一元六次方程但是发现可以通过完全立方公式化简合并当然这需要对公式有较为深刻的认识。下面给出几个常见的公式接下去再给出一道题2016-杜克数学大会(DMM)-Individual Round-9Find the root with the largest real part to over the complex numbers.根据代数基本定理一个四次方程应该有4个根而现在要在复根中找到实部最大的说明我们要算出这些根然后进行比较。第二道题采用整体代换的方法。因为 不是方程的根所以两边同除以 可得 。令 ,则 ,原式就变为 。这是一个一元二次方程可用十字相乘法得到 。于是得到两个方程 和 。那么可以解得 , 发现都是实数根所以最大的根为 。这里采用整体代换的方法把一个一元四次方程转化成了一元二次方程顺利的求得了四个根令 也是比较常见的代换技巧。一般的高次方程求解是比较困难的不同的方程可能要采用不同的方法求解不过试根法、整体代换等都是可以考虑。今年DMM中国区终选Team round第5题又出现了一道高次方程求解的问题。2019-DMM中国区终选-Team Round-5Find the real root of the polynomial .这道题因为看不出对称不像上一题除以 就能看出来了但是方法还是用了我们上述讲的代换方法。令 ,则因此 于是令 ,上式变为 ,因此 或 .这里出题者应该是先想好了要考 的代换然后凑了一个整系数的高次方程所以之后如果遇到高次方程不妨试试 。类似的我们也可以把上述问题变为Find the real root of the polynomial .那么这里就要令 进行代换了。一己拙见欢迎交流指正~~更多关于国际数学竞赛知识可参阅https://zhuanlan.zhihu.com/p/62918360zhuanlan.zhihu.com
