如何建设钓鱼网站,官方app下载,网站上的付费文章怎么做,拓者设计吧电脑版网页今天开始学习程序的灵魂#xff1a;数据结构与算法。
本文是自己学习极客时间专栏-数据结构与算法之美后的笔记总结。如有侵权请联系我删除文章。
我们都知道#xff0c;数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题#xff0c;即如何让代码运行得更快#xff0c;如何…今天开始学习程序的灵魂数据结构与算法。
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我们都知道数据结构和算法本身解决的是“快”和“省”的问题即如何让代码运行得更快如何让代码更省存储空间。所以执行效率是算法一个非常重要的考量指标。那如何来衡量你编写的算法代码的执行效率呢这里就要用到我们今天要讲的内容时间、空间复杂度分析。
复杂度分析是整个算法学习的精髓只要掌握了它数据结构和算法的内容基本上就掌握了一半。
1、大O复杂度表示法
算法的执行效率粗略的说就是代码的执行时间。但是实际上代码在被CPU执行的时候是相当快的这个时间我们也无法计算。所以就抽象出了一个用肉眼能够看到的时间。以例子来分析看如下一个求和的代码
int cal(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}对于CPU来说它只知道从内存中取指令与执行指令。所以上述代码CPU就是一条一条的取指令与执行该指令。现在假设CPU执行每一条的指令的时间都是一样的为p_time。那么上述代码第二三行执行时间2*p_time,四五六行是一个循环。所以第四五行的执行时间是2n*p_time。所以总的执行时间是 (2n2)*p_time
可以看到所有代码的执行时间 T(n) 与每行代码的执行次数成正比。
按照上述思路我们再来分析以下代码 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;int j 1;for (; i n; i) {j 1;for (; j n; j) {sum sum i * j;}}}整段代码总的执行时间 T(n) (2n22n3)*p_time。
这里我们虽然不知道p_time的具体值但是很明显代码的总的执行时间Tn是与n成正比这里的正比不是数学的正比是随着n的增大Tn越来越大。
我们可以把这种规律总结成一个规律。此时大O就出现了。
TnOfnT(n) 表示代码执行的时间n 表示数据规模的大小f(n) 表示每行代码执行的次数总和。因为这是一个公式所以用 f(n) 来表示。公式中的 O表示代码的执行时间 T(n) 与 f(n) 表达式成正比。
所以第一个例子中的 T(n) O(2n2)第二个例子中的 T(n) O(2n22n3)。这就是大 O 时间复杂度表示法。
注意大O时间复杂度表示法并不代表代码的真正执行时间而是代表执行的时间随数据规模增长的一种变化趋势。 简称时间复杂度。
为了简化时间复杂度的表示以及由于一些常数系数以及量级比较小的项对整体的变化影响不大所以一般将他们去掉。那么以上两种例子的时间复杂度在简化以后就是TnOn和TnOn2。
2、时间复杂度分析
遇到一段代码如何分析它的时间复杂度。一般有三种方法
2.1 只关注循环次数最多的一段代码
例如如下代码 int cal(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;}return sum;}它的时间复杂度就位TnOn
2.2、加法法则
总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。
看如下代码
int cal(int n) {int sum_1 0;int p 1;for (; p 100; p) {sum_1 sum_1 p;}int sum_2 0;int q 1;for (; q n; q) {sum_2 sum_2 q;}int sum_3 0;int i 1;int j 1;for (; i n; i) {j 1; for (; j n; j) {sum_3 sum_3 i * j;}}return sum_1 sum_2 sum_3;}上述代码中第一段代码的循环为100次第二段代码的循环为n次第三段代码的时间复杂度为n2次。此时要注意一点任何常数次循环都是O1时间复杂度不管是100次10000次10000000次只要能看出是一个具体的数字它都是O1时间复杂度。
由总的时间复杂度等于量级最大的那段代码的时间复杂度。所以上述代码最终时间复杂度为On2
结论 如果 T1(n)O(f(n))T2(n)O(g(n))那么 T(n)T1(n)T2(n)max(O(f(n)), O(g(n))) O(max(f(n), g(n))).
2.3、乘法法则
嵌套代码的复杂度等于嵌套内外代码复杂度的乘积
上面讲了一个复杂度分析中的加法法则这儿还有一个乘法法则。类比一下你应该能“猜到”公式是什么样子的吧
如果 T1(n)O(f(n))T2(n)O(g(n))那么 T(n)T1(n)*T2(n)O(f(n))*O(g(n))O(f(n)*g(n)).
也就是说假设 T1(n) O(n)T2(n) O(n2)则 T1(n) * T2(n) O(n3)。落实到具体的代码上我们可以把乘法法则看成是嵌套循环举个例子给你解释一下。
int cal(int n) {int ret 0; int i 1;for (; i n; i) {ret ret f(i);} } int f(int n) {int sum 0;int i 1;for (; i n; i) {sum sum i;} return sum;}我们单独看 cal() 函数。假设 f() 只是一个普通的操作那第 46 行的时间复杂度就是T1(n) O(n)。但 f() 函数本身不是一个简单的操作它的时间复杂度是 T2(n) O(n)所以整个 cal() 函数的时间复杂度就是T(n) T1(n) * T2(n) O(n*n) O(n2)。
3、几种常见复杂度分析
3.1、O1时间复杂度
如果代码中没有循环或者循环的次数是可以确定的常数那么就是O1复杂度
3.2、Ologn Onlogn
看下面的代码 i1;while (i n) {i i * 2;}设执行的次数为x则2xn。解得xlog2n
再看下面的代码 i1;while (i n) {i i * 3;}设执行的次数为x3xn。解得xlog3n
实际上不管是以 2 为底、以 3 为底还是以 10 为底我们可以把所有对数阶的时间复杂度都记为 O(logn)。为什么呢
我们知道对数之间是可以互相转换的log3n 就等于 log32 * log2n所以 O(log3n) O(C * log2n)其中 Clog32 是一个常量。基于我们前面的一个理论在采用大 O 标记复杂度的时候可以忽略系数即 O(Cf(n)) O(f(n))。所以O(log2n) 就等于 O(log3n)。因此在对数阶时间复杂度的表示方法里我们忽略对数的“底”统一表示为 O(logn)。
如果你理解了前面讲的 O(logn)那 O(nlogn) 就很容易理解了。还记得刚讲的乘法法则吗如果一段代码的时间复杂度是 O(logn)我们循环执行 n 遍时间复杂度就是 O(nlogn) 了。而且O(nlogn) 也是一种非常常见的算法时间复杂度。比如归并排序、快速排序的时间复杂度都是 O(nlogn)。
3.1、O(mn)、O(m*n)
看如下代码
int cal(int m, int n) {int sum_1 0;int i 1;for (; i m; i) {sum_1 sum_1 i;}int sum_2 0;int j 1;for (; j n; j) {sum_2 sum_2 j;}return sum_1 sum_2;
}从代码中可以看出m 和 n 是表示两个数据规模。我们无法事先评估 m 和 n 谁的量级大所以我们在表示复杂度的时候就不能简单地利用加法法则省略掉其中一个。所以上面代码的时间复杂度就是 O(mn)。
针对这种情况原来的加法法则就不正确了我们需要将加法规则改为T1(m) T2(n) O(f(m) g(n))。但是乘法法则继续有效T1(m)*T2(n) O(f(m) * f(n))。
4、空间复杂度的分析
前面花了很长时间讲大 O 表示法和时间复杂度分析理解了前面讲的内容空间复杂度分析方法学起来就非常简单了。
前面我讲过时间复杂度表示算法的执行时间与数据规模之间的增长关系。类比一下空间复杂度表示算法的存储空间与数据规模之间的增长关系。
看如下代码
void print(int n) {int i 0;int[] a new int[n];for (i; i n; i) {a[i] i * i;}for (i n-1; i 0; --i) {print out a[i]}
}跟时间复杂度分析一样我们可以看到第 2 行代码中我们申请了一个空间存储变量 i但是它是常量阶的跟数据规模 n 没有关系所以我们可以忽略。第 3 行申请了一个大小为 n 的 int 类型数组除此之外剩下的代码都没有占用更多的空间所以整段代码的空间复杂度就是 O(n)。
我们常见的空间复杂度就是 O(1)、O(n)、O(n2 )像 O(logn)、O(nlogn) 这样的对数阶复杂度平时都用不到。而且空间复杂度分析比时间复杂度分析要简单很多。
5、总结
复杂度也叫渐进复杂度包括时间复杂度和空间复杂度用来分析算法执行效率与数据规模之间的增长关系可以粗略地表示越高阶复杂度的算法执行效率越低。常见的复杂度并不多从低阶到高阶有O(1)、O(logn)、O(n)、O(nlogn)、O(n2 )。
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