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消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下#xff0c;只要是矩阵A可逆#xff0c;均可以通过消元法求得Axb的解
eg: 我们将矩阵左上角的1称之为“主元一”#xff08;the first pivot#xff09;#xff0c;第…一, 消元法 Method of Elimination
消元法是计算机软件求解线形方程组所用的最常见的方法。任何情况下只要是矩阵A可逆均可以通过消元法求得Axb的解
eg: 我们将矩阵左上角的1称之为“主元一”the first pivot第一步要通过消元将第一列中除了主元之外的数字均变化为0。操作方法就是用之后的每一行减去第一行的适当倍数此例中第二行应减去第一行的3倍。之后应对第三行做类似操作本例中三行第一列数字已经为0故不用进行操作\ 处在第二行第二列的主元二为2因此用第三行减去第二行的两倍进行消元得到第三个主元为5。
矩阵A为可逆矩阵消元结束后得到上三角阵UUppertriangular matrix其左侧下半部分的元素均为0而主元1,2,5分列在U的对角线上。
Pivot cannot be 0 主元不能为0如果恰好消元至某行0出现在了主元的位置上应当通过与下方一行进行“行交换”使得非零数字出现在主元位置上。如果0出现在了主元位置上并且下方没有对等位置为非0数字的行则消元终止并证明矩阵A为不可逆矩阵且线性方程组没有唯一解。
二, 回代 Back-Substitution
做方程的高斯消元时需要对等式右侧的b做同样的乘法和加减法。手工计算时比较有效率的方法是应用“增广矩阵”augmented matrix将b插入矩阵A之后形成最后一列在消元过程中带着b一起操作。Matlab是算完系数矩阵再处理b的 此时我们将原方程Axb转化为了新的方程Uxc 从最后一行得到z-2依次回代可以得到y1 和 x2
三, 消元矩阵 Elimination Matrices
矩阵运算的核心内容就是对“行”或者“列”进行独立操作。
如前一节课“列图像”部分所言系数矩阵乘以未知数向量相当于对系数矩阵的列向量进行线性组合 matrix times a column is a column
combination of the columns of the matrix a row times matrix is a row 列向量的线性组合非常容易就接受了左乘行向量这个总觉得很别扭偏偏行向量在下面介绍消元矩阵时比较重要。后来想想觉得“列”操作就像是把向量开进矩阵而“行操作”这个就像把向量倒车进入矩阵如图中箭头所示
Step 1 substract 3×row1 from row2
通过左乘矩阵E21来实现原矩阵A的第二行减去第一行的3倍这一过程。E21的第二行使矩阵A的行向量进行前述的线性组合而其它两行为了保持与原矩阵相同采用同阶单位阵I identity matrix 和×1无区别的行向量。左乘的这个矩阵为“初等矩阵”Elementary Matrix因此记做E。因为所乘行向量的倍数-3出现在E矩阵的第二行第一列因此将之标注为21。完成操作后矩阵变为E21A Step 2 substract 2×row2 from row3
矩阵消元的第二步是完成矩阵E21A的第三行减去第二行的2倍通过左乘矩阵E32来实现这一过程 3x3矩阵的消元本来应该分三步完成最终得到E32(E31(E21A))。本例中E31I所以结果变为E32(E21 AU因为矩阵运算符合结合律associative law括号移动也可写作(E32 E21)AU。可以记作EAU
四, 置换矩阵 Permutation
exchange rows 1 and 2 (row operation)
左乘置换矩阵可以完成原矩阵的行变换 exchange columns 1 and 2 (column operation)
右乘置换矩阵则为列变换 三阶矩阵 构造P 矩阵是通过对I 矩阵进行“行交换”来实现的
五, 逆矩阵 Inverse
这里主要讨论消元矩阵的逆矩阵。消元矩阵之逆矩阵的实施效果就是抵消原矩阵的消元操作。消元矩阵实现了对原矩阵A的操作使第二行行向量[3,8,1]减掉了第一行[1,2,1]的3倍变为[0,2,-2]则逆向操作就应该是把现在的第二行行向量[0,2,-2]加上第一行[1,2,1]的3倍从而变回原来的第二行[3,8,1]
