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% Standard solution with |ode45|
options1 odeset(Refine,1);
[t0,y0] ode45(ode,[0 40],1,options1);
% Solution with nonnegative constraint
options2 odeset(options1,NonNegative,1);
[t1,y1] ode45(ode,[0 40],1,options2);
% Analytic solution
t linspace(0,40,1000);
y exp(-t);
% 绘制这三个解进行比较。施加非负约束对于防止解向 − ࣛ 发展至关重要。
plot(t,y,b-,t0,y0,ro,t1,y1,k*);
legend(Exact solution,No constraints,Nonnegativity, ...
Location,SouthWest) 运行结果如下 1.2 示例膝盖问题 另一个要求非负解的问题示例是在示例文件 kneeode 中编码的膝盖问题。方程是 ϵy′ (1 − x)y − y^ 2 , 该问题使用初始条件 y (0) 1 在区间 [0, 2] 上求解。通常采用参数 ϵ 以满足 0 ϵ ԟ 1并且此问题使用ϵ 1 × 10^( −6) 。此 ODE 的解在 x 1 时趋近于 y 1 − x 在 x 1 时趋近于 y 0。但通过使用默认容差计算数值解可以看到解在整个积分区间中遵循 y 1 − x 等倾线。施加非负约束会得到正确的解。 在使用和不使用非负值约束两种条件下解算膝盖问题。 epsilon 1e-6;
y0 1;
xspan [0 2];
odefcn (x,y,epsilon) ((1-x)*y - y^2)/epsilon;
% Solve without imposing constraints
[x1,y1] ode15s((x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0);
% Impose a nonnegativity constraint
options odeset(NonNegative,1);
[x2,y2] ode15s((x,y) odefcn(x,y,epsilon), xspan, y0, options);
% 绘制解进行比较。
plot(x1,y1,ro,x2,y2,b*)
axis([0,2,-1,1])
title(The knee problem)
legend(No constraints,Non-negativity)
xlabel(x)
ylabel(y) 2.常见 ODE 问题及其解答 2.1 误差容限 2.2 问题规模 2.3 DOE的解 2.4 问题类型
