苏州网站建设推广咨询平台,wordpress使用redis,个人工作室税收优惠政策,室内设计经典案例PAGEPAGE 2姓名:___________________________设计题目:超松弛迭代法解线性方程组专业:摘要本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。首先#xff0c;本文以微分方程边值问题为例#xff0c;导出了离散化后线性方程…PAGEPAGE 2姓名:___________________________设计题目:超松弛迭代法解线性方程组专业:摘要本文是在matlab环境下熟悉的运用计算机编程语言并结合超松弛变量超松弛迭代法的理论基础对方程组求解。首先本文以微分方程边值问题为例导出了离散化后线性方程组即稀疏线性方程组转化对稀疏线性方程组求解问题。其次用超松弛( SOR) 迭代法编写matlab程序对产生的稀疏线性方程组进行迭代法求解。然后分别改变松弛因子ω和分段数n的值分析其收敛性和收敛速度做出各个方面的分析和比较得到相关结论。最后将超松弛迭代算法在计算机上运用matlab语言实现, 得出了一组与精确解较接近的数值解,并画图比较验证逐次超松弛( SOR) 迭代法的精确性。关键词 稀疏线性方程组 逐次超松弛迭代法 松弛因子matlab编程问题提出考虑两点边值问题容易知道它的精确解为为了把微分方程离散把区间等分令得到差分方程简化为从而离散后得到的线性方程组的系数矩阵为对分别用、和的超松弛迭代法求解线性方程组要求有4位有效数字然后比较与精确解的误差探讨使超松弛迭代法收敛较快的取值对结果进行分析。改变讨论同样问题。二、超松弛迭代法产生的背景对从实际问题中得到维数相当大的线性代数方程组的求解仍然十分困难, 以至使人们不能在允许的时间内用直接方法得到解, 因此, 客观上要求用新的方法来解决大维数方程组的求解问题。现有大多数迭代法不是对各类线性方程组都有收敛性, 在解题时, 要对原方程组矩阵作一根本的变换, 从而可能使条件数变坏, 也可能破坏了变换前后方程组的等价性, 以及丧失使原方程组的对称性等。探求新的有效的解题方法依然是迫切的任务。逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法是在高斯-赛德尔(GS)迭代法基础上为提高收敛速度采用加权平均而得到的新算法。在求解过程中由于线性方程组的系数矩阵维数较大, 采用计算机编写算法来求解, 从而实现了对解析模型的计算机数值逼近的计算方法#本论文以逐次超松弛迭代法为主要的求解方法。三、超松弛迭代法的理论基础逐次超松弛迭代法逐次超松弛(Successive Over Relaxation)迭代法简称SOR迭代法它是在GS法基础上为提高收敛速度采用加权平均而得到的新算法设解方程(7.1.3)的GS法记为 (1)再由与加权平均得 这里ω0称为松弛参数将(1)代入则得 (2)该法称为SOR迭代法[WTBX]ω0称为松弛因子当ω1时(2)式即为高斯-赛德尔迭代法简记GS法将(2)写成矩阵形式则得 即 于是得SOR迭代的矩阵表示 (3)其中 (4) 分解后有.逐次超松弛迭代法的收敛性根据迭代法收敛性定理SOR法收敛的充分必要条件为收敛的充分条件为但要计算比较复杂通常都不用此结论而直接根据方程组的系数矩阵A判断SOR迭代收敛性下面先给出收敛必要条件.定理1 设则解方程的SOR迭代法收敛的必要条件是0ω2.该定理为SOR迭代法收敛的必要条件。定理 2 若对称正定且0ω2则解Axb的SOR迭代法对迭代收敛.对于SOR迭代法松弛因子的选择对收敛速度影响较大关于最优松弛因子研究较为复杂且已有不少理论结果.下面只给出一种简单且便于使用的结论。定理3 设为对称正定的三对角矩阵是解方程的J法迭代矩阵若记则SOR法的最优松弛因子为 (5)且 (6) 根据定理,如图1所示.由(6)可知当ω1时收敛速度为 . 说明GS法比J法快一倍.图1定理4 设,如果A为严格对角占优矩阵(2)0则解的SOR迭代法收敛。实验内容1.自定义函数 sor(A, b, nm, e, w)以实现SOR方法求解线性方程组AXB其中A——系数矩阵b——常数列向量w——松弛因子nm——迭代的最大次数e——达到的精度上限由离散后的差分方程得到的线性方程组的系数矩阵为常数列向量b其中则有。A为(aij)200*200型矩阵b为(bij)200*1型矩阵。在本次试验中由于所提供数据较小当最大迭代次数nm较小时在nm迭代次数范围内不能判断该超松弛迭
