网站重新搭建程序要多少钱,网站建设领域的基本五大策略要学会,宁波男科公立医院哪家最好,织梦做的网站打不开网页文章目录 方程组的几何解释矩阵消元乘法和逆矩阵A的LU分解转置-置换-向量空间R列空间和零空间求解Ax0主变量 特解求解Axb可解性和解的结构线性相关性、基、维数四个基本子空间矩阵空间、秩1矩阵和小世界图图和网络复习一 方程组的几何解释
线性组合#xff1a; 找到合适的x和… 文章目录 方程组的几何解释矩阵消元乘法和逆矩阵A的LU分解转置-置换-向量空间R列空间和零空间求解Ax0主变量 特解求解Axb可解性和解的结构线性相关性、基、维数四个基本子空间矩阵空间、秩1矩阵和小世界图图和网络复习一 方程组的几何解释
线性组合 找到合适的x和y的线性组合从而让col1和col2组合得到结果b向量 3x3矩阵 对于任何b都有Ax b吗 列的线性组合能否覆盖整个三维空间?
三个向量A的三个列在同一平面时不行
两种方法的矩阵乘法
按列求 按行求一行乘一列
A乘以x看作A各列的线性组合 矩阵消元
矩阵消元 U是A的最终结果
增广矩阵 c是b的最终结果
矩阵x列列
行x矩阵行
B的第二行减去3倍的第一行
A x B C
A第一行a为1bc为0取B的第一行1倍其他行不取
A第二行a为-3b为1取B的第一行的-3倍第二行的1倍二者相加 A为初等矩阵E21 E 32 ( E 21 A ) U ( E 32 E 21 ) A U \begin{aligned} E_{32}(E_{21}A) U\\ (E_{32}E_{21})A U \end{aligned} E32(E21A)(E32E21)AUU 交换列 E x A 变换行A x E变换列
逆变换
行二减去三倍行一 行二加上三倍行一 乘法和逆矩阵 A乘以 B的各个列向量 得到C的列向量 C中各列是A中各列的线性组合 A乘以 B的各个行向量 得到C的行向量 C中各行是B中各行的线性组合
如A中某行的各个值(1 2 3)等于B中各行 [ a b c d e f g h i ] \begin{bmatrix} a b c \\ d e f \\ g h i \end{bmatrix} adgbehcfi 的对应倍数 a b c 2 d 2 e 2 f 3 g 3 h 3 i \begin{matrix} a b c \\ 2d 2e 2f \\ 3g 3h 3i \end{matrix} a2d3gb2e3hc2f3i 相加(a2d3g b2e3h c2f3i)就是C的对应行
列同理
求矩阵相乘有四种方法
常规方法一行乘一列得一个值列方法C的列是A的各列的线性组合一次求一列行方法C的行是B的各行的线性组合一次求一行列乘行分块
对于方阵 A − 1 A I A A − 1 A^{-1}AIAA^{-1} A−1AIAA−1 矩阵没有逆
无法通过线性组合矩阵的各行得到(1 0 0 …)等等单位矩阵的各行行方向在同一直线上列同理满足这样的矩阵没有逆x不是0向量)
如果矩阵其中一列对线性组合毫无贡献矩阵不可能有逆
高斯-若尔当消元 E [ A I ] [ I ? ] E A I tell us E A − 1 E\begin{bmatrix}A I\end{bmatrix} \begin{bmatrix}I ?\end{bmatrix}\\ EAI \\ \text{tell us} \\ EA^{-1} E[AI][I?]EAItell usEA−1 A的LU分解 A的转置的逆等于A的逆的转置 E A U E [ 2 1 8 7 ] [ 2 1 0 3 ] \begin{aligned} EA U \\ E \begin{bmatrix} 2 1\\ 8 7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 1\\ 0 3 \end{bmatrix} \end{aligned} EAE[2817]U[2013] A L U [ 2 1 8 7 ] L [ 2 1 0 3 ] \begin{aligned} A LU\\ \begin{bmatrix} 2 1\\ 8 7 \end{bmatrix} L \begin{bmatrix} 2 1\\ 0 3 \end{bmatrix} \end{aligned} A[2817]LUL[2013]
可见 E E 1 E 2 E 3 L E − 1 L E 3 − 1 E 2 − 1 E 1 − 1 E E_{1}E_{2}E_{3}\\ L E^{-1}\\ L E_{3}^{-1}E_{2}^{-1}E_{1}^{-1} EE1E2E3LE−1LE3−1E2−1E1−1 在该例中L为 [ 1 0 4 1 ] \begin{bmatrix} 1 0\\ 4 1 \end{bmatrix} [1401] 对角线为1的下三角阵lowerU为对角线上是主元的上三角阵upper
将主元单拎出来
这里4是消元乘数那么
如果没有行交换消元乘数可以直接写入单位矩阵中组成L
nxn矩阵的消元需要 n 2 ( n − 1 ) 2 ( n − 2 ) 2 ⋯ 2 2 1 2 n^2(n-1)^2(n-2)^2\dots2^21^2 n2(n−1)2(n−2)2⋯2212 次操作不是行操作而是值操作
置换矩阵其逆等于其转置 转置-置换-向量空间R
上一节讨论不需要行交换的情况对于行需要交换的 P A L U PALU PALU P即为置换矩阵将A的行交换成正确的样子的、行重新排列了的单位矩阵
nxn置换矩阵的个数n!
置换矩阵可逆且其逆等于其转置
转置(AT)i,jAj,i
对称矩阵转置后等于自身
所有RTR结果都是对称矩阵: ( R T R ) T R T R (R^TR)^TR^TR (RTR)TRTR
向量空间必须要对数乘封闭即一个向量乘以任何数都在这个向量空间内此时向量空间为一条该向量所在的直线子空间过原点因为要允许乘0
子空间是向量空间内的向量空间即某些向量在母空间而其本身也构成向量空间
R2的子空间
R2平面任意过原点的直线0原点
R3的子空间
R3空间任意过原点的平面任意过原点的直线0原点
对于一个矩阵它的列的任意一种线性组合而成的向量都在向量子空间又称列空间 列空间和零空间
空间中有平面P和直线L两向量空间两者相交于原点两者的并集不构成向量空间因为对于并集中的向量相加结果不在并集中对加法不封闭。而交集构成向量空间。
向量加法和数乘是子空间中必须封闭的运算
A是4x3矩阵那么A的列空间就是R4的子空间由所有列的线性组合构成换句话说只有当b为A中各列的线性组合时b才是Axb的解此时b在A的列空间内
线性无关A中各列进行线性组合其中每一列都对组合有所贡献换句话说无法去掉某列得到相同的列空间有贡献的列称为主列
零空间x构成的向量空间因为Av0Aw0A(vw)0vw加和还在范围内所以构成向量空间使得Ax0此时x可以取数乘cx在R3中表示为一条过原点的直线
而对于Axbb!0解x必须包含0才能构成向量空间因为所有向量空间必须过原点 求解Ax0主变量 特解
消元不改变零空间方程组解
消元后非主元所在列对应的未知量为自由变量表示可以自由取值。
秩 主元个数
特解自由变量取值后连带产生的解的任意倍
特解的线性组合任意倍、相加就是零空间 简化行阶梯型矩阵主元上下都是0
经典行简化阶梯型行交换后 R [ I F 0 0 ] R \begin{bmatrix} I F\\ 0 0 \end{bmatrix} R[I0F0] 要求x就是求 R x 0 Rx0 Rx0 x由多个特解线性组合而成这些特解作为列构成的矩阵叫做零空间矩阵N此时 R N 0 [ I F 0 0 ] [ − F I ] 0 \begin{aligned} RN 0 \\ \begin{bmatrix} I F\\ 0 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} -F \\ I \end{bmatrix} 0 \end{aligned} RN[I0F0][−FI]00 这样就能快速找到零基F的列数决定I的列数 求解Axb可解性和解的结构
Axb仅当b属于A的列空间时成立
A的行的线性组合产生了零行则相同的线性组合将让b也产生0
特解增广矩阵消元后保证零行等于0然后指定自由变量为0求出一个特解xp
通解xxpxn特解加零特解的线性组合 A x p b A x n 0 A ( x p x n ) b Ax_pb\\ Ax_n0\\ A(x_px_n)b AxpbAxn0A(xpxn)b
其间的关系有点类似于二维直线yacxycx过原点yacx移动a过a。这个解的图像也是后面零解过原点因为是零空间而加上特解则过特解
列满秩rn没有自由变量也就是没有F所以求零解时不能自由赋值此时零空间N(A)只有零向量Axb的解空间如果解存在则只有唯一解xxp
行满秩rm消元时没有零行那么对于任意bAxb都有解。自由变量为n-r个
方阵满秩rmn可逆矩阵零空间只包含零向量Axb有解 矩阵的秩决定了方程组解的数目 线性相关性、基、维数
线性相关性向量组中有0个向量的话一定相关因为 0 ⋅ v 1 0 ⋅ v 2 n ⋅ 0 0 0 \cdot v_1 0 \cdot v_2 n \cdot 0 0 0⋅v10⋅v2n⋅00 组合非零组合 0 0 n得到0向量 A [ v 1 v 2 … v n ] A \begin{bmatrix} v_1 v_2 \dots v_n \end{bmatrix} A[v1v2…vn] 若v1,v2,…,vn不相关则零空间只有0向量rn无自由变量。反之若Ac0c ! 0则相关r n有自由变量
向量生成span空间空间包含这些向量的所有线性组合最小
向量空间的一组基一组1. 线性无关 2. 生成整个空间 的向量——主列
当nxn方阵可逆时其向量空间为Rn
对于给定空间空间中任意一组基的向量数目相等此处的基向量数目就是维数
列空间的维数 基向量组成的矩阵的rank
已知维数有一些线性无关的向量则其中维数个向量组成一组基
零空间的维数 自由变量个数 四个基本子空间
对于mxn矩阵的四个基本子空间
列空间C(A)A的列的所有线性组合在Rm中零空间N(A)在Rn中行空间C(AT)A的行的所有线性组合在Rn中左零空间N(AT)在Rm
列向量矩阵的秩 行向量的矩阵的秩 r 主元数
列空间的维数 行空间的维数 r
零空间的维数 n - r
左零空间的维数 m - r
n - r 特解个数
行变换下影响行空间但影响列空间
行空间的基 行最简型R的前r行
左零空间
为什么叫左零空间 A T y 0 y T A 0 A^Ty0 \\ y^TA0 ATy0yTA0
左零空间的基
化行简化型 r r e f [ A I ] → [ R E ] rref \begin{bmatrix} A I \end{bmatrix}\rightarrow \begin{bmatrix} R E \end{bmatrix} rref[AI]→[RE] E A R EAR EAR
此时R中的零行对应的E中的行即为左零空间的基
eg [ − 1 2 0 1 − 1 0 ( 1 0 1 ) ] A [ 1 0 1 1 0 1 1 0 ( 0 0 0 0 ) ] \begin{bmatrix} -1 2 0 \\ 1 -1 0 \\ (1 0 1) \end{bmatrix} A \begin{bmatrix} 1 0 1 1 \\ 0 1 1 0 \\ (0 0 0 0) \end{bmatrix} −11(12−10001) A 10(0010110100)
矩阵服从向量空间的运算率可以把矩阵看作向量虽然矩阵可相乘但把矩阵看作向量空间时只考虑相加、数乘 此处对角线矩阵空间的一个基为 [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 1 0 0 0 2 0 0 0 0 ] , [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0 0\\ 0 0 0\\ 0 0 0\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 0 0\\ 0 2 0\\ 0 0 0\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 0 0\\ 0 0 0\\ 0 0 1\\ \end{bmatrix} 100000000 , 100020000 , 000000001 矩阵空间、秩1矩阵和小世界图
以3x3矩阵为例M为所有3x3矩阵构成空间
需要9个矩阵 [ 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ] , [ 0 1 0 0 0 0 0 0 0 ] , … , [ 0 0 0 0 0 0 0 0 1 ] \begin{bmatrix} 1 0 0\\ 0 0 0\\ 0 0 0\\ \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 0 1 0\\ 0 0 0\\ 0 0 0\\ \end{bmatrix},\dots, \begin{bmatrix} 0 0 0\\ 0 0 0\\ 0 0 1\\ \end{bmatrix} 100000000 , 000100000 ,…, 000000001 构成一组基
M的维度为9对称矩阵空间S维度6上三角矩阵空间U维度6 维度 d i m ( 更小的子空间 S ∪ U ) 3 \text{维度}dim(\text{更小的子空间}S \cup U)3 维度dim(更小的子空间S∪U)3 当S∪U时产生的不是子空间需要补充SU S和U的组合取S的任一矩阵U的任一矩阵 。这里的空间包含所有3x3矩阵 d i m ( S U ) 9 dim(SU)9 dim(SU)9 d i m ( S ) d i m ( U ) d i m ( S ∪ U ) d i m ( S U ) dim(S)dim(U)dim(S \cup U)dim(SU) dim(S)dim(U)dim(S∪U)dim(SU)
秩1矩阵如
可以把秩为4的矩阵分解为4个秩1矩阵
而两个秩为4的矩阵相加结果的秩通常不为4
行空间维数零空间维数行数
列空间维数左零空间维数列数
小世界图“六分度猜想”每个人至多通过六个人可以认识任何人这样一个人与人的关系图 图和网络 与回路对应的行是线性相关的如第1、2、3行
对于这样的矩阵的零空间Ax0将x视为结点电势则结果
可以看作结点间电势差此时各点电势差为零节点间没有电流
xi-xj电势差通过欧姆定律得到结点间电流y对于左零空间ATy0即基尔霍夫电流定律KCL
对于左零空间的基表现为满足基尔霍夫电流定律流入流出的一组向量每个元素是结点电流 这里两个向量是无关的即两个回路不产生嵌套大的外城回路由两个小的回路组成
矩阵的主行对应的边组成了个没有回路的图树相关性均源自于回路 d i m N ( A T ) m − r 相互无关的回路数量loops 边的数量edges − ( 结点数量nodes − 1 ) n o d e s − e d g e s l o o p s 1 欧拉公式 \begin{aligned} dim N(A^T) m-r\\ \text{相互无关的回路数量loops} \text{边的数量edges}-(\text{结点数量nodes}-1)\\ nodes - edges loops 1 欧拉公式 \end{aligned} dimN(AT)相互无关的回路数量loopsnodes−edgesloopsm−r边的数量edges−(结点数量nodes−1)1欧拉公式 rn-1n为结点数即列数
回到电路 [ x i − x j … ] ⇒ e A x 电势差 [ e 1 … ] ⇒ y C e 电流 [ y 1 … ] \begin{bmatrix} x_i-x_j\\ \dots \end{bmatrix} \Rightarrow ^{eAx} \text{电势差}\begin{bmatrix} e_1\\ \dots \end{bmatrix} \Rightarrow ^{yCe} \text{电流}\begin{bmatrix} y_1\\ \dots \end{bmatrix} [xi−xj…]⇒eAx电势差[e1…]⇒yCe电流[y1…] 总的来说 A T C A x f 加上电流源 A^TCAxf\text{加上电流源} ATCAxf加上电流源 复习一 已知 A x [ 2 4 2 ] , 通解 x [ 2 0 2 ] c [ 1 1 0 ] d [ 0 0 1 ] 已知Ax \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} ,通解x \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 2 \end{bmatrix} c\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} d\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} 已知Ax 242 ,通解x 202 c 110 d 001
求行空间的维数rn-dimN(A)n-21 n可由b知为3
求A将特解(2 0 2)代入Ax(2 4 2)得a1(1 2 1)
将特解(1 1 0)代入Ax0得a2(-1 -2 -1)
将特解(0 0 1)代入Ax0得a3(0 0 0)
使Axb成立的b的条件b是A中列向量的线性组合
所有同阶可逆矩阵不能组成子空间因为可逆矩阵相加不能保证结果可逆 B 2 0 ⇏ B 0 B [ 0 1 0 0 ] B^20 \nRightarrow B0 \\ B \begin{bmatrix} 0 1\\ 0 0 \end{bmatrix} B20⇏B0B[0010] nxm满秩矩阵Axb可逆对任意b有解
若C可逆N(CD)N(D) 已知 B C D [ 1 1 0 0 1 0 1 0 1 ] [ 1 0 − 1 2 0 1 1 − 1 0 0 0 0 ] 已知BCD \begin{bmatrix} 1 1 0\\ 0 1 0\\ 1 0 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 0 -1 2\\ 0 1 1 -1\\ 0 0 0 0 \end{bmatrix} 已知BCD 101110001 100010−1102−10 不计算B求B零空间的基即N(D) b a s i s [ 1 − 2 − 1 1 1 0 0 1 ] basis \begin{bmatrix} 1 -2\\ -1 1\\ 1 0\\ 0 1 \end{bmatrix} basis 1−110−2101 v [ 1 2 3 ] 不能既是 A 的一行又在 A 的零空间内 [ X X X 1 2 3 X X X ] [ 1 2 3 ] ̸ [ 0 0 0 ] v\begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix} 不能既是A的一行又在A的零空间内\\ \begin{bmatrix} X X X\\ 1 2 3\\ X X X \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\ 2\\ 3 \end{bmatrix}\not \begin{bmatrix} 0\\ 0\\ 0 \end{bmatrix} v 123 不能既是A的一行又在A的零空间内 X1XX2XX3X 123 000
行空间和零空间的交集只有零向量
