微网站开发平台 开源,短网址生成免费,软件app免费下载大全,百度竞价排名事件文章目录 abstract函数展开成傅里叶系数傅里叶系数求解 a 0 a_0 a0求解 a n a_n an求解 b n b_n bn小结 傅里叶级数#x1f388;周期为 2 π 2\pi 2π的函数的fourier级数展开公式小结三角级数收敛问题Dirichlet收敛定理例 abstract
傅里叶级数公式及其收敛问题介绍周期… 文章目录 abstract函数展开成傅里叶系数傅里叶系数求解 a 0 a_0 a0求解 a n a_n an求解 b n b_n bn小结 傅里叶级数周期为 2 π 2\pi 2π的函数的fourier级数展开公式小结三角级数收敛问题Dirichlet收敛定理例 abstract
傅里叶级数公式及其收敛问题介绍周期为 2 π 2\pi 2π的情形下,函数的傅里叶级数公式至于一般周期,可转化为 2 π 2\pi 2π周期进行讨论,并得出相应公式(另见它文)
函数展开成傅里叶系数
设 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,且能展开为三角级数式(6),即 f ( x ) f(x) f(x) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n x b n sin n x ) \frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infin}(a_n\cos{nx}b_n\sin{nx}) 2a0∑n1∞(ancosnxbnsinnx)这就产生了一个重要问题,如何计算式(6)中的系数 a n , b n a_{n},b_n an,bn,或说确定 a n , b n a_n,b_n an,bn关于 f ( x ) f(x) f(x)的表达式上述两个系数称为傅里叶系数
傅里叶系数 利用三角函数系的正交性质等式组,并结合积分计算,可以得出傅里叶级数展开公式的系数公式 a 0 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x a0π1∫−ππf(x)dx(7) a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ( n x ) d x , ( n 0 , 1 , 2 , . . . ) a_n\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}dx,(n0,1,2,...) anπ1∫−ππf(x)cos(nx)dx,(n0,1,2,...)(8) 式(7)可以并入式(8),因为当 n 0 n0 n0时,式(8)恰好是式(7) b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ( n x ) d x , ( n 1 , 2 , 3 , . . . ) b_n\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}dx},(n1,2,3,...) bnπ1∫−ππf(x)sin(nx)dx,(n1,2,3,...)(9) 具体的推导过程如下 首先求 a 0 a_0 a0的公式再求 a n , b n a_n,b_n an,bn的公式
求解 a 0 a_0 a0 假设上式右端级数可以逐项积分,则: ∫ − π π f ( x ) d x ∫ − π π a 0 2 d x ∫ − π π ∑ k 1 ∞ ( a k cos k x b k sin k x ) d x a 0 π ∑ k 1 ∞ ( ∫ − π π a k cos k x d x ∫ − π π b k sin k x d x ) a 0 π ∑ k 1 ∞ ( a k ∫ − π π cos k x d x b k ∫ − π π sin k x d x ) a 0 π \begin{aligned} \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x \int_{-\pi}^{\pi}\frac{a_0}{2}\mathrm{d}x \int_{-\pi}^{\pi}\sum_{k1}^{\infin}(a_k\cos{kx}b_k\sin{kx})\mathrm{d}x \\ a_0\pi\sum_{k1}^{\infin} \left( \int_{-\pi}^{\pi}a_k\cos{kx}\;\mathrm{d}x \int_{-\pi}^{\pi}b_k\sin{kx}\;\mathrm{d}x \right) \\a_0\pi\sum_{k1}^{\infin} \left( a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\;\mathrm{d}x b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\;\mathrm{d}x \right) \\a_0\pi \end{aligned} ∫−ππf(x)dx∫−ππ2a0dx∫−ππk1∑∞(akcoskxbksinkx)dxa0πk1∑∞(∫−ππakcoskxdx∫−ππbksinkxdx)a0πk1∑∞(ak∫−ππcoskxdxbk∫−ππsinkxdx)a0π 上述计算中用到正交性质: ∫ − π π cos k x d x 0 \int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\;\mathrm{d}x0 ∫−ππcoskxdx0; ∫ − π π sin k x d x 0 \int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\;\mathrm{d}x0 ∫−ππsinkxdx0 即得式 a 0 1 π ∫ − π π f ( x ) d x a_0\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\mathrm{d}x a0π1∫−ππf(x)dx,即(7)
求解 a n a_n an 对式(6)两边同时乘以 cos n x \cos{nx} cosnx f ( x ) cos n x f(x)\cos{nx} f(x)cosnx a 0 2 cos n x ∑ k 1 ∞ a k cos k x cos n x b k sin k x cos n x \frac{a_0}{2}\cos{nx}\sum_{k1}^{\infin}a_k\cos{kx}\cos{nx}b_k\sin{kx}\cos{nx} 2a0cosnx∑k1∞akcoskxcosnxbksinkxcosnx 两边做区间 [ − π , π ] [-\pi,\pi] [−π,π]上的积分: ∫ − π π f ( x ) cos n x d x \int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\;\mathrm{d}x ∫−ππf(x)cosnxdx a 0 2 ∫ − π π cos n x d x \frac{a_0}{2}\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\;\mathrm{d}x 2a0∫−ππcosnxdx ∑ k 1 ∞ ( a k ∫ − π π cos k x cos n x d x b k ∫ − π π sin k x cos n x d x ) \sum_{k1}^{\infin} \left(a_k\int_{-\pi}^{\pi}\cos{kx}\cos{nx}\;\mathrm{d}x b_k\int_{-\pi}^{\pi}\sin{kx}\cos{nx}\;\mathrm{d}x \right) ∑k1∞(ak∫−ππcoskxcosnxdxbk∫−ππsinkxcosnxdx) 0 a n ∫ − π π cos n x cos n x d x 0 0a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos{nx}\cos{nx}\;\mathrm{d}x0 0an∫−ππcosnxcosnxdx0 a n ∫ − π π cos 2 n x d x a_n\int_{-\pi}^{\pi}\cos^2{nx}\;\mathrm{d}x an∫−ππcos2nxdx a n π a_{n}\pi anπ 可得 a n a_n an 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx}\;\mathrm{d}x π1∫−ππf(x)cosnxdx, ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯),即式(8) 当 n 0 n0 n0时,式(8)恰好为式(7)
求解 b n b_n bn
类似于 a n a_n an的求解过程,对式(6)两边同时乘以 sin n x \sin{nx} sinnx,得 f ( x ) sin n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx a 0 2 sin n x \frac{a_0}{2}\sin{nx} 2a0sinnx ∑ k 1 ∞ a k cos k x sin n x b k sin k x sin n x \sum_{k1}^{\infin}a_k\cos{kx}\sin{nx}b_k\sin{kx}\sin{nx} ∑k1∞akcoskxsinnxbksinkxsinnx 类似于 a n a_n an的求解过程,对式(6)两边同时乘以 sin n x \sin{nx} sinnx,得 f ( x ) sin n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx a 0 2 sin n x \frac{a_0}{2}\sin{nx} 2a0sinnx ∑ k 1 ∞ a k cos k x sin n x b k sin k x sin n x \sum_{k1}^{\infin}a_k\cos{kx}\sin{nx}b_k\sin{kx}\sin{nx} ∑k1∞akcoskxsinnxbksinkxsinnx 再对两侧求 − π -\pi −π到 π \pi π积分,得: b n b_n bn 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx}dx π1∫−ππf(x)sinnxdx ( n 1 , 2 , ⋯ ) (n1,2,\cdots) (n1,2,⋯),即式(9)
小结 { a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ( n x ) d x , ( n 0 , 1 , 2 , . . . ) b n 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ( n x ) d x , ( n 1 , 2 , 3 , . . . ) \begin{cases} a_n\displaystyle\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm dx,(n\boxed{0},1,2,...) \\[10pt] b_n\displaystyle\frac{1}{\pi}{\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm dx},(n1,2,3,...) \end{cases} ⎩ ⎨ ⎧anπ1∫−ππf(x)cos(nx)dx,(n0,1,2,...)bnπ1∫−ππf(x)sin(nx)dx,(n1,2,3,...) a 0 a_0 a0, a n , b n a_n,b_n an,bn, n 1 , 2 , ⋯ n1,2,\cdots n1,2,⋯称为傅里叶系数
傅里叶级数
若傅里叶系数都存在,即式(8,9)中的积分均存在,将傅里叶系数带入到三角级数式(6): f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ ( a n cos n x b n sin n x ) f(x)\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infin} (a_n\cos{nx}b_n\sin{nx}) f(x)2a0∑n1∞(ancosnxbnsinnx)(10)该式称 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数(Fuorier Series)
周期为 2 π 2\pi 2π的函数的fourier级数展开公式小结 一个定义在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infin,\infin) (−∞,∞)内周期为 2 π 2\pi 2π的函数,如果他在一个周期上可积分,那么就可以作出 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 该傅里叶级数的系数根据 f ( x ) f(x) f(x)的奇偶性分为: f ( x ) 是奇函数 f(x)是奇函数 f(x)是奇函数 f ( x ) 是偶函数 f(x)是偶函数 f(x)是偶函数 a n , n 0 , 1 , 2 , . . . a_n,n0,1,2,... an,n0,1,2,...0 2 π ∫ − π 0 f ( x ) cos ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x π2∫−π0f(x)cos(nx)dx b n , n 1 , 2 , 3 , . . . b_n,n1,2,3,... bn,n1,2,3,... 2 π ∫ − π 0 f ( x ) sin ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π2∫−π0f(x)sin(nx)dx0Fourier Series of f ( x ) f(x) f(x) ∑ n 1 ∞ b n sin ( n x ) \sum\limits_{n1}^{\infin}b_n\sin{(nx)} n1∑∞bnsin(nx) ∑ n 0 ∞ a n cos ( n x ) \sum\limits_{n0}^{\infin}a_n\cos{(nx)} n0∑∞ancos(nx) a 0 2 ∑ n 1 ∞ a n cos ( n x ) \frac{a_0}{2}\sum\limits_{n1}^{\infin}a_n\cos{(nx)} 2a0n1∑∞ancos(nx) 当 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数时 f ( x ) cos n x f(x)\cos{nx} f(x)cosnx是奇函数, a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ( n x ) d x a_n\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x anπ1∫−ππf(x)cos(nx)dx0 f ( x ) sin n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx是偶函数, b n b_n bn 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ( n x ) d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π1∫−ππf(x)sin(nx)dx 2 π ∫ − π 0 f ( x ) sin ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{-\pi}^{0} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π2∫−π0f(x)sin(nx)dx 2 π ∫ 0 π f ( x ) sin ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π2∫0πf(x)sin(nx)dx 当 f ( x ) f(x) f(x)是偶函数时: f ( x ) cos n x f(x)\cos{nx} f(x)cosnx是偶函数, a n 1 π ∫ − π π f ( x ) cos ( n x ) d x a_n\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x anπ1∫−ππf(x)cos(nx)dx 2 π ∫ 0 π f ( x ) cos ( n x ) d x \frac{2}{\pi}\int_{0}^{\pi} f(x)\cos{(nx)}\mathrm{d}x π2∫0πf(x)cos(nx)dx f ( x ) sin n x f(x)\sin{nx} f(x)sinnx是奇函数, b n b_n bn 1 π ∫ − π π f ( x ) sin ( n x ) d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi} f(x)\sin{(nx)}\mathrm{d}x π1∫−ππf(x)sin(nx)dx0 需要注意的是, f ( x ) f(x) f(x)必须有对称的定义域才可以使用上述公式,而不能够仅仅判断 f ( − x ) ± f ( x ) f(-x)\pm f(x) f(−x)±f(x)就认为 f ( x ) f(x) f(x)是奇函数/偶函数 另外注意这里的积分限 ∫ 0 π \int_{0}^{\pi} ∫0π不同于 ∫ − π π \int_{-\pi}^{\pi} ∫−ππ
三角级数收敛问题
如同讨论幂级数时一样,这里也要讨论三角级数(1)的收敛问题以及给定周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,如何把它展开成三角级数(1)一个定义在 ( − ∞ , ∞ ) (-\infin,\infin) (−∞,∞)上周期为 2 π 2\pi 2π的函数 f ( x ) f(x) f(x) 若它在一个周期上可积,那么一定可以作出 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 F F F然而 F F F不一定收敛,且 F F F即使收敛也不一定收敛于 f ( x ) f(x) f(x) f ( x ) f(x) f(x)需要满足一定条件,它对应的傅里叶级数 F F F才会收敛于 f ( x ) f(x) f(x) 狄利克雷(Dirichlet)充分条件(收敛定理)给出这方面的结论
Dirichlet收敛定理
设 f ( x ) f(x) f(x)是周期 2 π 2\pi 2π的周期函数,若它满足在一个周期内 连续或只有有限个第一类间断点至多只有有限个极值点 那么 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数 F F F收敛 当 x x x是 f ( x ) f(x) f(x)的连续点时, F F F收敛于 f ( x ) f(x) f(x)(11)当 x x x是 f ( x ) f(x) f(x)的间断点时, F F F收敛于 1 2 ( f ( x − ) f ( x ) ) \frac{1}{2}(f(x^{-})f(x^{})) 21(f(x−)f(x))(12),即左极限和右极限的算术平均值 Note:第一类间断点的左右极限都存在,事实上连续可以理解为左右极限都等于 f ( x ) f(x) f(x)在 x x x处的取值;因此用公式(12)计算连续情形得到的结果和公式(11)相同)函数展开成傅里叶级数的条件比展开成幂级数的条件低得多 记 C { x ∣ f ( x ) 1 2 ( f ( x − ) f ( x ) ) } C\set{x|f(x)\frac{1}{2}(f(x^{-})f(x^{}))} C{x∣f(x)21(f(x−)f(x))}在 C C C上成例 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式 f ( x ) a 0 2 ∑ n 1 ∞ a n cos n x b n sin n x f(x)\frac{a_0}{2}\sum_{n1}^{\infin}a_n\cos{nx}b_n\sin{nx} f(x)2a0∑n1∞ancosnxbnsinnx, x ∈ C x\in{C} x∈C
例
设 f ( x ) f(x) f(x)是周期为 2 π 2\pi 2π的周期函数,它在 [ − π , π ) [-\pi,\pi) [−π,π)上的表达式为 f ( x ) f(x) f(x) − 1 -1 −1, ( x ∈ [ − π , 0 ) ) (x\in[-\pi,0)) (x∈[−π,0)); f ( x ) 1 f(x)1 f(x)1, x ∈ [ 0 , π ) x\in[0,\pi) x∈[0,π) 将 f ( x ) f(x) f(x)展开为傅里叶级数 F F F
解 (1):敛散性 f ( x ) f(x) f(x)满足Dirichlet收敛定理条件,从而 F F F会收敛 F F F在 k π k\pi kπ, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} k∈Z处有跳跃间断点,分别有 − 1 → 1 ; 1 → − 1 -1\to{1};1\to{-1} −1→1;1→−1, F F F分别收敛于 − 1 1 2 0 \frac{-11}{2}0 2−110; 1 ( − 1 ) 2 0 \frac{1(-1)}{2}0 21(−1)0,可见任何间断点都收敛于 0 0 0 F F F在 x ≠ k π x\neq{k\pi} xkπ时,级数收敛于 f ( x ) f(x) f(x) (2):傅里叶级数的系数 a n a_{n} an 1 π ∫ − π π f ( x ) cos n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos{nx} \mathrm{d}x π1∫−ππf(x)cosnxdx 这里 f ( x ) f(x) f(x)是分段函数,因此我们要分段积分: a n a_{n} an 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) cos n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(-1)\cos{nx} \mathrm{d}x π1∫−π0(−1)cosnxdx 1 π ∫ 0 π 1 ⋅ cos n x d x \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\cos{nx} \mathrm{d}x π1∫0π1⋅cosnxdx 0 0 0, n ∈ Z n\in\mathbb{Z} n∈Z b n b_{n} bn 1 π ∫ − π π f ( x ) sin n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin{nx} \mathrm{d}x π1∫−ππf(x)sinnxdx 1 π ∫ − π 0 ( − 1 ) sin n x d x \frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{0}(-1)\sin{nx} \mathrm{d}x π1∫−π0(−1)sinnxdx 1 π ∫ 0 π 1 ⋅ sin n x d x \frac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}1\cdot\sin{nx} \mathrm{d}x π1∫0π1⋅sinnxdx 1 π ( − 1 n ( − cos n x ) ∣ − π 0 1 n ( − cos n x ) ∣ 0 π ) \frac{1}{\pi}(-\frac{1}{n}(-\cos{nx})|_{-\pi}^{0}\frac{1}{n}(-\cos{nx})|_{0}^{\pi}) π1(−n1(−cosnx)∣−π0n1(−cosnx)∣0π) 1 n π ( 1 − cos n π − ( cos n π − 1 ) ) \frac{1}{n\pi}(1-\cos{n\pi}-(\cos{n\pi}-1)) nπ1(1−cosnπ−(cosnπ−1)) 1 n π ( 2 − 2 cos n π ) \frac{1}{n\pi}(2-2\cos{n\pi}) nπ1(2−2cosnπ) 2 n π ( 1 − cos n π ) \frac{2}{n\pi}(1-\cos{n\pi}) nπ2(1−cosnπ) 2 n π ( 1 − ( − 1 ) n ) \frac{2}{n\pi}(1-(-1)^{n}) nπ2(1−(−1)n) b n b_{n} bn 4 n π \frac{4}{n\pi} nπ4, n 1 , 3 , 5 , ⋯ n1,3,5,\cdots n1,3,5,⋯ b n b_n bn 0 0 0, n 2 , 4 , ⋯ n2,4,\cdots n2,4,⋯ 将系数 a n a_n an, b n b_n bn代入三角级数(6),得 f ( x ) f(x) f(x) 0 ∑ n 1 ∞ ( 0 b n sin n x ) 0\sum_{n1}^{\infin}(0b_n\sin{nx}) 0∑n1∞(0bnsinnx) 4 π sin x 0 4 3 π sin 3 x ⋯ \frac{4}{\pi}\sin{x}0\frac{4}{3\pi}\sin{3x}\cdots π4sinx03π4sin3x⋯ 4 π ( sin x 1 3 sin 3 x ⋯ ) \frac{4}{\pi}(\sin{x}\frac{1}{3}\sin{3x}\cdots) π4(sinx31sin3x⋯) 4 π ∑ n 1 ∞ 1 2 n − 1 sin ( 2 n − 1 ) \frac{4}{\pi}\sum_{n1}^{\infin} \frac{1}{2n-1}\sin{(2n-1)} π4∑n1∞2n−11sin(2n−1) − ∞ x ∞ -\infinx\infin −∞x∞, x ∉ Z x\notin{\mathbb{Z}} x∈/Z 通过绘制 f ( x ) f(x) f(x)的图形可以发现,该图形为矩形波,(周期 T 2 π T2\pi T2π,振幅 E 1 E1 E1,自变量 x x x表示时间),那么 f ( x ) f(x) f(x)的傅里叶级数展开式表明,矩形波可由一系列不同频率的正弦波叠加而成,且这些正弦波的频率依次为基波频率的奇数倍
