龙岗网站建设公司哪家口碑好,wordpress4.9.4,android 网站开发,网络营销推广方式有哪些来源#xff1a;AI科技评论作者#xff1a;Steve Nadis编译#xff1a;陈彩娴编辑#xff1a;青暮一般情况下#xff0c;当你要对某个特定地区的植物进行调查时#xff0c;你可能会按植物的种类来划分。就这种方法来看#xff0c;如果是沿着托斯卡纳海岸的某些地带做这类… 来源AI科技评论作者Steve Nadis编译陈彩娴编辑青暮一般情况下当你要对某个特定地区的植物进行调查时你可能会按植物的种类来划分。就这种方法来看如果是沿着托斯卡纳海岸的某些地带做这类调查并不会很困难因为你大概率只会发现一种植物就是海松pinus pinaster。但是如果你要在亚马逊热带雨林中做植物统计那你要找出雨林里所有植物的名字与数量就会非常困难甚至可以说是“毫无可能”。在探索广阔数学图景的征程上数学家们也可能会遇到类似的挑战尤其是对研究描述集合论的数学家而言因为他们要尝试对分类问题的难度进行评级。有时候他们会认为某个分类任务很容易有时候又会觉得某个分类任务太难比如上述的亚马逊雨林植物分类问题。描述集合论descriptive set theory只是集合论的一个分支主要研究物体的集合可以是数字、图形、空间中的点、向量等等。实数、有理数、虚数本身就是一个集合。可以说数学家的研究范围涵盖了方方面面。几十年来研究人员一直被一个分类问题所困扰。这个分类问题就是“无挠阿贝尔群”torsion-free abelian groups简称“TFAB”。TFAB 问题最早由数学家 Harvey Friedman 和 Lee Stanley 在1989年所发表的一篇论文“A Borel Reducibility Theory For Classes of Countable Structures”中提出。在这篇论文中Harvey Friedman 与 Lee Stanley 介绍了一种比较可数结构分类问题难度的新方法表明有些分类问题会非常复杂。论文地址https://www.jstor.org/stable/2274750?seq1这个问题困扰了数学家们30多年。今年都灵大学的数学家 Gianluca Paolini 与他之前的博士后导师、希伯来大学教授 Saharon Shelah 在网上发表的一篇论文如下终于解决了 TFAB 的相关问题。论文地址https://arxiv.org/pdf/2102.12371.pdf1计算无穷大TFAB 问题涉及到一类无穷可数结构可以帮我们理解数学家如何处理这些看似笨拙的数量。首先一组结构“可数”意味着什么自然数 (0, 1, 2, 3 ...) 是无穷的但也被视为“可数”所以自然数有时候也会被称为“可数数”counting number。如果你按顺序数这些自然数它们可以完整地排列虽然你要花无穷的时间。自然数集合中的元素或者它的“基数”被标记为“aleph-zero”。数学家把任何与自然数无穷集大小相同的集合都称为“可数”集合。相反实数包括自然数、有理数和无理数虽然也是无穷的但它们却被归类为“不可数”。主要原因是实数太多我们从19世纪80年代后期就知道0 和 1 之间的实数比所有自然数加起来还要多。所以有这么一种说法无穷并非生而平等有些无穷要比其他无穷大得多。实数集的“基数”也比自然数更大因为实数更多。任何可数的集合要么是有穷的要么如果是无穷的且基数为 aleph-zero。那么数学家可以围绕这些概念来做怎样的研究Friedman与Stanley 的论文以及 Paolini 和 Shelah 的新工作都重点关注结构之间的同构isomorphism。虽然一些数学结构在本质上都是无穷但仍有可能研究它们并将它们与其他对象进行比较以确定它们是否同构或大致相等。例如我们先看看两个无穷但可数的数字组第一组由所有整数组成第二组则仅由偶数组成。这两个群彼此同构因为它们具有相同数量的元素也就是说它们的无穷是相同的。而且在这两组里每一组中的元素都能对应另一组中的一个元素。此外用于从一组映射到另一组的函数还必须保留组的运算和属性如加法组合律。这类同构群并不完全相同因为它们没有相同的元素但它们确实有平行结构一组中的每个元素都与另一组中的单个元素直接相关。通过一个函数就可以将第一个结构转换为第二个结构如上例所示只需将第一个结构中的每个元素乘以 2就能得到第二个结构。如 Paolini 所介绍即便没有完全相同的内容同构结构也有“相同形状”。同构概念正是 TFAB 问题的核心。2多复杂才算得上是复杂在 1989 年的论文中Friedman 与 Stanley 主要想解决一个问题给定一个可数结构族既可以是无限组数字也可以是图那么确定该族的对象是否彼此同构有多难Friedman 与 Stanley举了一个例子有一组图每个图都有可数但无穷个顶点。在两个标记为“同构”的可数图上一个图中的顶点与另一个图中的顶点之间必须存在一对一的对应关系。如果一个图中的两个顶点由一条边连接那么另一个图中相应的顶点也必须由一条边连接。大约如下Friedman 与 Stanley 提出要确定两个可数图是否同构是极其复杂的。这使得所有可数图家族都变成“波莱尔完备”Borel complete——这个表达由他们在1989年的论文中首创因为他们借助了法国数学家 Émile Borel 所设计的波莱尔函数Borel function。Friedman 与 Stanley 很好奇“还有哪些可数对象是波莱尔完备的”这个问题也是描述集合论的核心主题之一。从之后的几年里Friedman、Stanley和其他学者已经确定了几类满足波莱尔完备性标准的数学对象包括树一种简化的图、线性阶数和数字集自然或实数字面上是顺序排列就像数轴上的数字一样。但在 1989 年论文所考虑的许多情况中只有 TFAB 拒绝通过同构进行分类。首先TFAB群在本质上是一组数字。每个 TFAB 由遵循特定群规则的实数的可数子集组成例如在加减规则下封闭因此对于该群中的任何数字 p 和 qp q 和 p - q 也包含在群中。它还遵守交换律即 p q q p这也是阿贝尔群的标志。最后“无挠”torsion-free的意思是如果 g 是群中的非零元素那么 g g 永远不可能等于零g g g 也不能g g g g 也不能……依此类推。30多年来数学家们一直想知道“如果我们有两个可数无挠阿贝尔群那么当我们在询问它们是否同构时这个问题的难度是简单、中等还是最难”在1989年论文所提出的问题中这个问题所用的解决时间最长。终于在今年Shelah 和 Paolini 找到了突破的方法。3跨结构转换他们解决这个问题的方法是借鉴了经典数学家思维将一个难题简化为一个容易的问题。如果他们能够证明 TFAB 与另一个已知的波莱尔完备结构族例如可数图族一样复杂那么也就可以证明 TFAB 也是波莱尔完备的。这就好比如果你想知道一个人是否是世界上最高的人那么与其将Ta和地球上的每个人都比对还不如去找被公认为最高的人比看看谁更高。Shelah 解释在决定使用可数图作为衡量标准后他们面临关键的下一步创建一个函数特别是波莱尔类的函数可以“将一个图转换成一个无挠阿贝尔群”。他们的函数需要接收一个图作为输入并产生一个 TFAB 作为输出在这个过程中将信息从图传递到 TFAB 群。也就是说函数 f 必须满足以下关系当且仅当 f(G) 和 f(H) 是可数且彼此同构的 TFAB 时两个可数图 G 和 H 才彼此同构。这项任务并不容易因为没有“技术”来连接如此不同的数学对象。所以他们不得不为这个问题发明一项“技术”。用 Laskowski 的说法问题的关键是找出这项技术。就像苹果与橙子图和群没有相同的词汇。在这种情况下我们要做的就是建立对应关系。然后他们真的是在比较无穷组的苹果和无穷组的橙子。幸运的是他们找到了一种将问题简化的方法你只要处理一个通用的图而无需处理所有图。这个通用图非常庞大以至于它的子图已经包含了所有可能的可数图。通过这种方式Paolini 和 Shelah 可以构建必要的函数从而证明图和 TFAB 处于一种平等的地位。他们找到了一种将无挠阿贝尔群与图相关联的方法以便保留同构。而且由于数学家已经知道可数图族是波莱尔完备的也就是在同构方面是最复杂的那么也就是说可数 TFAB 族也必须是波莱尔完备的。4研究前景那么他们的研究成果有可能取得更通用的结论吗Kechris 的说法是有待观察但很有可能。在解决了可数 TFAB 的问题后Paolini 和 Shelah 已经在进行进一步的探索将研究目标对准不可数 TFAB并称“可能会有不一样的结果”。事实上Shelah 有一个理论就是当你将问题推到更高的基数时问题可能会变得更简单因为当数字变得非常大时重要数字之间的距离也会增加比如质数和整数的平方。同时他们这篇关于可数 TFAB 的论文已经有一些直接的实际意义。例如这个族没有能够告诉你两个 TFAB 是否同构的鲜明属性即“不变量”但可数 TFAB 的波莱尔完备性可以直接告诉你这个答案。在未来数学家们可能会发现其他类别的无穷可数结构例如图与 TFAB它们在确定同构时最为复杂。不过仅仅知道 TFAB 的可能复杂程度就可以将问题进行简化都有利于帮助分类学家与描述集合理论家的进一步工作。原文链接https://www.quantamagazine.org/mathematicians-solve-decades-old-classification-problem-20210805/未来智能实验室的主要工作包括建立AI智能系统智商评测体系开展世界人工智能智商评测开展互联网城市大脑研究计划构建互联网城市大脑技术和企业图谱为提升企业行业与城市的智能水平服务。每日推荐范围未来科技发展趋势的学习型文章。目前线上平台已收藏上千篇精华前沿科技文章和报告。 如果您对实验室的研究感兴趣欢迎加入未来智能实验室线上平台。扫描以下二维码或点击本文左下角“阅读原文”
