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1、最优化问题建模
最优化问题的三要素是决策变量、目标函数和约束条件。 1分析影响结果的因素是什么确定决策变量 2决策变量与优化目标的关系是什么确定目标函数 3决策变量所受的限制条件是什么确定约束条件 最优化问题的建模通常按照以下步骤进行 1问题定义确定决策变量、目标函数和约束条件 2模型构建由问题描述建立数学方程并转化为标准形式的数学模型 3模型求解用标准模型的优化算法对模型求解得到优化结果 4模型检验统计检验和灵敏度分析。 欢迎关注 Youcans 原创系列每周更新数模笔记
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线性规划Linear programming是研究线性约束条件下线性目标函数的极值问题的优化方法常用于解决利用现有的资源得到最优决策的问题。 线性规划模型的一般形式如下 min fx c1*x1 … cn*xn s.t. a11*x1…a1n*Xn ≤ b1 … am1*x1…amn*Xn ≤ bm x1≥0,…,xn≥0 其中fx 是目标函数求最小值x1,…xn 是决策变量aij, bi 是不等式约束的参数。 3、Scipy 求解线性规划
Python 的 SciPy 库带有用于解决线性编程问题的 linprog 函数。 linporg 函数对于线性规划模型的描述为 min fx C’*X fx 是目标函数 s.t. A_ub*X B_ub 不等式约束 A_eq*X B_eq 等式约束 lb X ub 取值范围 其中 fx 是目标函数求最小值 X 是决策变量向量 C 是目标函数的参数向量 A_ub 是不等式约束的参数矩阵B_ub 是不等式约束的参数向量 A_eq 是等式约束的参数矩阵B_eq 是等式约束的参数向量 lb,ub 是参数向量(lb,ub) 是 X 的取值范围。 注意 1问题表示为求 fx 的最小值如果问题要求 fx 的最大值则要通过 fx‘ -fx 将问题转化为求 fx’ 的最小值 2不等式约束条件表示为小于等于如果约束条件为大于等于则要通过不等式两侧乘以 -1 将约束条件转化为小于等于的形式。 linporg 函数求解线性规划问题的输出参数为 con: 等式约束的残差名义上为 0B_eq - A_eqX fun: 目标函数的当前值最小值C’X message: 算法状态描述 nit: 当前迭代次数 slack: 不等式约束的松弛值B_ub - A_ubX status: 算法退出时的状态0优化完成1达到最大迭代次数2不可行3不收敛4数值困难 success: 当算法成功完成时为 True x: 当前解向量 4 实例
4.1 问题模型 max fx 2*x1 3*x2 - 5*x3s.t. x1 x2 x3 72*x1 - 5*x2 x3 10x1 3*x2 x3 12x1, x2, x3 04.2 模型转换
首先要将求解问题的模型转化为 Linprog 的标准形式1求最大值问题要转换为求最小值问题C [-2, 3, 5] 2当约束条件为 大于等于 时要加负号A_ub [[-2, 5, -1], [1, 3, 1]] 3由 x1,x2,x30 和 x1x2x37 可知0 x1,x2,x3 7 4.3 python 程序
import numpy as np # 导入 numpy
from scipy.optimize import linprog # 导入 scipyc np.array([-2, -3, 5])
A_ub np.array([[-2, 5, -1], [1, 3, 1]]) # 不等式约束参数矩阵
B_ub np.array([-10, 12]) # 不等式约束参数向量
A_eq np.array([[1, 1, 1]]) # 等式约束参数矩阵
B_eq np.array([7]) # 等式约束参数向量
x1 (0, 7) # x1 的取值范围lb1 x1 ub1
x2 (0, 7) # x2 的取值范围lb2 x2 ub2
x3 (0, 7) # x3 的取值范围lb3 x3 ub3
res linprog(c, A_ub, B_ub, A_eq, B_eq, bounds(x1, x2, x3))
print(res)4.4 运行结果 con: array([1.19830306e-08])fun: -14.57142854231215message: Optimization terminated successfully.nit: 5slack: array([-3.70231543e-08, 3.85714287e00])status: 0success: Truex: array([6.42857141e00, 5.71428573e-01, 9.82192085e-10])版权说明 YouCans 原创作品转载必须注明原文链接 Copyright 2021 YouCans, XUPT Crated2021-04-28 欢迎关注 Youcans 原创系列每周更新数模笔记
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