网站建设业务员在哪里接单,cnzz统计代码放在后台网站为什么没显示,建筑设计说明万能模板,怎样下载wordpress本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质#xff0c;本文是本系列第一篇
向量究竟是什么#xff1f; 向量的线性组合#xff0c;基与线性相关 矩阵与线性相关 矩阵乘法与线性变换 三维空间中的线性变换 行列式 逆矩阵#xff0c;列空间#xff0c;秩与零空间 克莱姆…本系列文章将从下面不同角度解析线性代数的本质本文是本系列第一篇
向量究竟是什么 向量的线性组合基与线性相关 矩阵与线性相关 矩阵乘法与线性变换 三维空间中的线性变换 行列式 逆矩阵列空间秩与零空间 克莱姆法则 非方阵 点积与对偶性 叉积 以线性变换眼光看叉积 基变换 特征向量与特征值 抽象向量空间 快速计算二阶矩阵特征值 张量协变与逆变和秩 文章目录 前言向量究竟是什么向量的线性组合基于线性相关矩阵与线性相关 前言
天道中丁元英说过一句话佛说看山是山看水是水普通大众寄情山水之间时如神一般的丁元英却早已看透文化属性今天我们不研究这么高深的哲学回到线性代数向量矩阵对于我来讲只不过是一堆数字但切换到神的视角他们却是几何与变换瞬间让线性代数变得更加立体生动今天我们就从几何的角度去探索线性代数的本质。
向量究竟是什么
通过“究竟”一词可见对于向量的含义存在不同的解释目前主要有三种解释
⑴从物理学家的角度看向量是指向空间的箭头它有两个属性长度和方向无论怎么移动他都是同一个向量。
⑵从计算机角度看向量是有序的数字列表例如对于房价预测而言房子的面积房间数就可以看作是一个向量 [ 80 4 ] \begin{bmatrix}80\\4\end{bmatrix} [804]
⑶从数学家的角度看向量可以是任何东西只要具有向量和向量加法标量和向量乘法这两种运算规律的事务都可以看作是向量 v ⃗ w ⃗ \vec{v} \vec{w} v w 2 v ⃗ 2\vec{v} 2v
例如 [ − 4 10 ] [ 20 1 ] [ 16 11 ] \begin{equation*} \begin{bmatrix} -4\\ 10 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 20\\ 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 16\\ 11 \end{bmatrix} \end{equation*} [−410][201][1611] 2 ∗ [ 80 4 ] [ 160 8 ] \begin{equation*} 2*\begin{bmatrix} 80\\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 160\\ 8 \end{bmatrix} \end{equation*} 2∗[804][1608]
由于数学家的角度过于抽象这就出现了开头讲的换个角度看问题从几何角度看待线性代数对于向量而言就是在特定坐标系下以原点为起点指向某个方向的箭头 现在已经有了使用几何方式表达向量的方法下面让我们从几何角度重新审视向量的两种运算
对于 v ⃗ w ⃗ \vec{v} \vec{w} v w 而言移动w到v的末尾连接v的头和w的尾就是结果向量。 对于 2 v ⃗ 2\vec{v} 2v 而言向量的方向不变长度变为原来的两倍如果标量是小数则是缩小向量的长度如果是负数则是反方向缩放向量的长度。
向量的线性组合基于线性相关
基向量
“单位“是数学中必不可少的概念缺少单位数字变得毫无意义同样对于使用几何表示向量而言也有存在单位的概念这就是“基向量”它代表指向xy轴长度为1的向量我们分别用 i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j 表示。
有了基的概念后向量的表示可以转换成以基为参照例如向量 [ 3 − 2 ] \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix} [3−2]则可以表示成 3 ∗ i ⃗ 2 ∗ j ⃗ 3*\vec{i} 2*\vec{j} 3∗i 2∗j
这里需要注意前面我们选择指向xy轴且长度为1的向量作为基向量但也可以选择不同的基不同的基代表不同的坐标系则对于一个向量而言它代表不同的几何意义例如选择下面的v和w向量作为基向量时向量 [ 1.5 − 0.62 ] \begin{bmatrix} 1.5\\ -0.62 \end{bmatrix} [1.5−0.62]代表的几何形状与 i ⃗ \vec{i} i j ⃗ \vec{j} j 为基向量时的形状是不一样的。 向量线性组合
无论选择什么样的基向量向量都可以写成更一般的形式 a v ⃗ b w ⃗ a\vec{v} b\vec{w} av bw 我们称为向量的线性组合ab是标量也称为缩放因子v和w是向量选择不同的缩放因子向量的线性组合可以表示整个向量空间也就是生成的向量可以到达平面中所有点。
但如果两个向量恰好共线时则向量组合后的结果向量只能落在该直线上我们称共线的两个向量是线性相关的否则是线性无关。
更特殊地当这两个向量都是0向量时则向量组合后的结果向量只能落在原点上。
概括一下所有可以被给定向量用线性组合来表示的那些向量的集合被称为给定向量张成的空间两个不共线的向量在二维空间中其线性组合所张成的空间是整个二维空间而在三维空间中其张成的空间是三维空间中的一个面。 在三维空间中三个向量的线性组合如果其中一个向量在另两个向量张成的平面内我们称该向量与其他两个向量线性相关这三个向量的线性组合仍然是一个平面只有三个向量互不线性相关时那么这三个向量的线性组合才能张成整个三维空间。
矩阵与线性相关
矩阵
先说结论前面讲的向量可以视为一种带箭头的几何结构那么矩阵就可以视为一种对几何的变换。
在线性代数中变换是一种函数将输入映射成输出输入是向量输出也是向量同理当输入是矩阵时可以把矩阵分解成多个向量那么输出也就是矩阵变换有很多种线性代数中只讨论线性变换线性变换要求任意直线变换后仍然是直线且原点位置变换后保持不变从几何角度看线性变换就是拉伸缩放旋转。
下图变换后直线变弯曲了所以是非线性变换
下图变换后原点位置变了所以属于非线性变换
那我们如何求一个向量经过变换后的向量坐标呢假设现有一个向量在原始坐标系下可以表示成 v ⃗ ( − 1 ) i ⃗ 2 ∗ j ⃗ \vec{v} ( -1)\vec{i} 2*\vec{j} v (−1)i 2∗j 。
现在对向量v施加一个线性变换根据线性变换的特性变换后网格仍然平行且间隔均等假设两个基向量变换后的坐标如下图所示向量v与两个基向量经过相同的变换变成新的基向量那么向量v经过变换后的向量仍然可以表示成: v ⃗ t r a n s f o r m e d ( − 1 ) i ⃗ t r a n s f o r m e d 2 ∗ j t r a n s f o r m e d \begin{equation*} \vec{v}{}_{transformed} ( -1)\vec{i}{}_{transformed} 2*j{}_{transformed} \end{equation*} v transformed(−1)i transformed2∗jtransformed 只不过基向量变成了变换后的基向量。
如上图 i ⃗ t r a n s f o r m e d [ 1 − 2 ] \vec{i}{}_{transformed} \begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} i transformed[1−2], j ⃗ t r a n s f o r m e d [ 3 0 ] \vec{j}{}_{transformed} \begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} j transformed[30]
变换后的v就等于 v ⃗ ( − 1 ) [ 1 − 2 ] 2 ∗ [ 3 0 ] [ 5 2 ] \vec{v} ( -1)\begin{bmatrix} 1\\ -2 \end{bmatrix} 2*\begin{bmatrix} 3\\ 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5\\ 2 \end{bmatrix} v (−1)[1−2]2∗[30][52]
也就是说如果我们知道两个基向量变换后的向量那么求任何一个向量经过变换后的向量的过程可以用下图所表示
更进一步的我们将两个基向量变换后的坐标向量用矩阵的形式组织起来这个矩阵就是线性变换矩阵T。
对于任意一个向量A,例如 [ 7 2 ] \begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} [72]求该线性变换T对该向量的作用时只需要用矩阵与向量相乘即可 A t r a n s f o r m e d [ 3 2 − 2 1 ] [ 7 2 ] 7 [ 3 − 2 ] 2 [ 2 1 ] A_{transformed} \begin{bmatrix} 3 2\\ -2 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} 7\begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix} 2\begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} Atransformed[3−221][72]7[3−2]2[21]。
如果换个视角反过来看如果给出一个矩阵乘法 [ 3 2 − 2 1 ] [ 7 2 ] \begin{bmatrix} 3 2\\ -2 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} [3−221][72]我们可以把矩阵第一列 [ 3 − 2 ] \begin{bmatrix} 3\\ -2 \end{bmatrix} [3−2]当作新的基向量 i ⃗ \vec{i} i 把矩阵的第二列 [ 2 1 ] \begin{bmatrix} 2\\ 1 \end{bmatrix} [21]当作新的基向量 j ⃗ \vec{j} j 根据向量的几何表示向量 [ 7 2 ] \begin{bmatrix} 7\\ 2 \end{bmatrix} [72]用新的基向量表成 i ⃗ \vec{i} i 向正方向放大7倍 j ⃗ \vec{j} j 向正方向放大2倍将变换后的向量相加就形成了结果向量。
再举个例子看看逆时针旋转90度的变换矩阵是什么 i ⃗ \vec{i} i 由 [ 1 0 ] \begin{bmatrix} 1\\ 0 \end{bmatrix} [10]变成 [ 0 1 ] \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} [01] j ⃗ \vec{j} j 由 [ 0 1 ] \begin{bmatrix} 0\\ 1 \end{bmatrix} [01]变成 [ − 1 0 ] \begin{bmatrix} -1\\ 0 \end{bmatrix} [−10]所以该变换矩阵为 [ 0 − 1 1 0 ] \begin{bmatrix} 0 -1\\ 1 0 \end{bmatrix} [01−10]。
到此就已经证明了我们在开头所说的矩阵是一种线性变换。
