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因为是线性的所以可以把所有的系数都提取出去。这也是多重线性代数的性质。可以看成基本的各项自变量的乘法。 这里可以看到两个不同基向量下他们的坐标转化关系。 引出了张量积也就是前面提到的内容。 对偶空间的例子总是比较美好。 因为e^i就是把x的第i个坐标给取出来。所以就得到了(10)每一个张量基的组成部分都是取到对应的坐标。他们作用在x上就会得到(1) 这个意思是说对于任何k形式我们都可以通过一种运算得到斜对称形式。 这里我们看到了为什么要引入行列式是因为一个取坐标的操作的张量积放到斜对称形式的推导里面会得到一个式子这个式子就是行列式的公式。然后也说了为什么要引入外积因为斜对称形式的张量积一般就不是斜对称了引入外积的话就是为了保证还是斜对称。公式15就是外积的定义。其实这里可以感受到斜对称应该是一个非常重要的形式我们后面看。 这个式子还是要仔细理解的。前面就是k形式后面是k形式的求和。 求和的系数取决于交换次数。 按照前面的公式我们可以发现取坐标的外积最终就是这些坐标分别取出来组成一个矩阵的行列式的值。 这里我们看到是想把普通k形式都转成斜对称形式引入了一个运算A本来k形式就是Fae1xe2...exn
引入A之后变成了斜对称形式就有了行列式。要考虑斜对称之间的运算还是斜对称就引入了外积。 最后这一段看不太懂需要再理解下。问了GPT它的意思是对于n维线性空间如果你的k形式的kn。例如k3,n2, 那么按照反对称的定义里面比如有两个元素是一样的。例如取坐标二维空间就两个坐标可以取但你要取3次必有两次是重复的。重复的就代表斜对称必须为0. 看着比较费解冲对偶映射去理解X-Y会变成Y*-X*于是l*F^k肯定是相当于Fx.最终就是(25),27,28,29公式形式还是很优美的。 这里提到了坐标我们得先复习 k形势下的坐标形式后面的y的一堆的乘积就是坐标前面是k形式作用在基上的值。
所以我们得到了两个不同空间中的k形式的一些关系。Y上的k形式作用在Y的基上引出的系数b。和对偶映射X上的k形式作用在X的基上引出的系数a他们之间的系数关系和基的关系的表达式。 这个结论是说明我们通过对偶映射把Y上的取坐标转到x上的一个映射它等价于一堆取坐标函数的和。
这个更一般的结论和5应该是一样的。我们得到了两组基向量的关系他们对应的对偶映射的k形式也是具有类似关系的。 在整理下我们对于普通的k形式想要引入斜对称就引入了运算A我们发现运算A本质上是可以看成一个行列式。而斜对称之间的运算需要在符合斜对称于是引入了外积。同时我们发现行列式可以看成取坐标运算符的外积的操作。于是我们就会开始研究取坐标操作运算之间的外积。然后得到了一系列的坐标转化公式。
