佛山网站制作系统,宁波市高新区建设局网站,深圳企业网站建设费用,个人网站虚拟主机什么是三次样条插值 插值#xff08;interpolation#xff09;是在已知部分数据节点#xff08;knots#xff09;的情况下#xff0c;求解经过这些已知点的曲线#xff0c; 然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法#xff08;未知点在上述已知点自变量范围内… 什么是三次样条插值 插值interpolation是在已知部分数据节点knots的情况下求解经过这些已知点的曲线 然后根据得到的曲线进行未知位置点函数值预测的方法未知点在上述已知点自变量范围内。 样条(spline)是软尺(elastic ruler)的术语说法在技术制图中使用软尺连接两个相邻数据点 以达到连接曲线光滑的效果。 样条插值是一种分段多项式(piecewise polynomial)插值法。数学上曲线光滑需要在曲线上处处一阶导连续 因此在节点处需要满足一阶导数相等。另外为了使得曲线的曲率最小要求曲线二阶导连续【1】 在节点处需要二阶导相等。 三次及以上多项式可以满足节点处光滑和曲率最小要求但是次数高的曲线容易震荡因此就选用三次多项式即可。 数学表述 假设有n个已知节点 函数关系记为 。 在区间 中插值多项式曲线 注意这里头曲线为尾曲线为。 插值在节点处满足条件 1曲线经过节点 2曲线一阶导连续光滑 3曲线二阶导连续曲率最小 边界条件对两端节点的约束。 B1自然(natural (or free))边界条件 B2固定(clamped)边界条件 固定一阶导数 , 固定二阶导数 , B3非节点边界(not-a-knot ) 要求在第二个节点 和倒数第二个节点 曲线的三阶导也连续 三次多样式函数的计算 样条函数采用n-1个三次多项式每个三次多项式有4个参数一共是4n-4个参数 因此需要4n-4个方程。 条件1n-1个曲线每个两端经过节点提供2n-12n-2个方程 条件2n-1个曲线相邻一阶导连续提供n-2个方程 条件3n-1个曲线相邻二阶导连续提供n-2个方程 以上一共是4n-6个方程还需要2个方程这两个方程由边界条件提供条件B1, B2, B3 每个均提供2个方程这样就凑够了4n-4个方程。 计算的例子 n个节点n-1条曲线。在区间 内令第i条曲线为 一二三阶导分别为 一阶 二阶 三阶 接下来套用节点条件和边界条件 先假设相邻节点横纵坐标的差值分别为: 。 条件1曲线 已经满足第一个式子 第二式 (I) 条件2 (II) 条件3 (III) 边界条件以非节点Not-A_Knot条件为例 得 (IV) , 联立方程(I)和(II) 分别消去 和 得 , 带入方程(III)得 (V) 这里i的最大值应该取不到n-3当in-3时上式左边将出现 而参数a的范围是从0到n-2 所以不存在这项此式一共是n-2个方程。 另外方程(II)和(III)都不支持 需要单独计算 由方程(I)(III)分别有 由边界条件方程(IV)中的 得 方程V取i0有 与上式联立消去得 (VI) 另由 得 (VII) 方程(V), (VI), (VII)联立n-1个方程n-1个未知数参数a得解然后在算出参数b和c即可。 References: [1] Wikipedia: spline interpolation 转载于:https://www.cnblogs.com/tlz888/p/11454772.html
