站长百度,国外域名网站,设计制作一个保温杯教学反思,中交路桥建设有限公司电话343. 整数拆分
思路
看到这道题目#xff0c;都会想拆成两个呢#xff0c;还是三个呢#xff0c;还是四个....
来看一下如何使用动规来解决。
动态规划
动规五部曲#xff0c;分析如下#xff1a;
确定dp数组#xff08;dp table#xff09;以及下标的含义
dp[i]…343. 整数拆分
思路
看到这道题目都会想拆成两个呢还是三个呢还是四个....
来看一下如何使用动规来解决。
动态规划
动规五部曲分析如下
确定dp数组dp table以及下标的含义
dp[i]分拆数字i可以得到的最大乘积为dp[i]。
dp[i]的定义将贯彻整个解题过程下面哪一步想不懂了就想想dp[i]究竟表示的是啥
确定递推公式
可以想 dp[i]最大乘积是怎么得到的呢
其实可以从1遍历j然后有两种渠道得到dp[i].
一个是j * (i - j) 直接相乘。
一个是j * dp[i - j]相当于是拆分(i - j)对这个拆分不理解的话可以回想dp数组的定义。
那就问了j怎么就不拆分呢
j是从1开始遍历拆分j的情况在遍历j的过程中其实都计算过了。那么从1遍历j比较(i - j) * j和dp[i - j] * j 取最大的。递推公式dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
也可以这么理解j * (i - j) 是单纯的把整数拆分为两个数相乘而j * dp[i - j]是拆分成两个以及两个以上的个数相乘。
如果定义dp[i - j] * dp[j] 也是默认将一个数强制拆成4份以及4份以上了。
所以递推公式dp[i] max({dp[i], (i - j) * j, dp[i - j] * j});
那么在取最大值的时候为什么还要比较dp[i]呢
因为在递推公式推导的过程中每次计算dp[i]取最大的而已。
dp的初始化
不少同学应该疑惑dp[0] dp[1]应该初始化多少呢
有的题解里会给出dp[0] 1dp[1] 1的初始化但解释比较牵强主要还是因为这么初始化可以把题目过了。
严格从dp[i]的定义来说dp[0] dp[1] 就不应该初始化也就是没有意义的数值。
拆分0和拆分1的最大乘积是多少
这是无解的。
这里我只初始化dp[2] 1从dp[i]的定义来说拆分数字2得到的最大乘积是1这个没有任何异议
确定遍历顺序
确定遍历顺序先来看看递归公式dp[i] max(dp[i], max((i - j) * j, dp[i - j] * j));
dp[i] 是依靠 dp[i - j]的状态所以遍历i一定是从前向后遍历先有dp[i - j]再有dp[i]。
注意 枚举j的时候是从1开始的。从0开始的话那么让拆分一个数拆个0求最大乘积就没有意义了。
j的结束条件是 j i - 1 其实 j i 也是可以的不过可以节省一步例如让j i - 1的话其实在 j 1的时候这一步就已经拆出来了重复计算所以 j i - 1
至于 i是从3开始这样dp[i - j]就是dp[2]正好可以通过我们初始化的数值求出来。
更优化一步可以这样
for (int i 3; i n; i) {for (int j 1; j i - j; j) {dp[i] Math.max(dp[i],Math.max(j*dp[i-j],j*(i-j)));}
}
因为拆分一个数n 使之乘积最大那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的。
例如 6 拆成 3 * 3 10 拆成 3 * 3 * 4。 100的话 也是拆成m个近似数组的子数 相乘才是最大的。
只不过我们不知道m究竟是多少而已但可以明确的是m一定大于等于2既然m大于等于2也就是 最差也应该是拆成两个相同的 可能是最大值。
那么 j 遍历只需要遍历到 n/2 就可以后面就没有必要遍历了一定不是最大值。 “拆分一个数n 使之乘积最大那么一定是拆分成m个近似相同的子数相乘才是最大的”
举例推导dp数组
举例当n为10 的时候dp数组里的数值如下 以上动规五部曲分析完毕C代码如下
class Solution {public int integerBreak(int n) {//确定bp数组及其下标含义// 对i进行拆分得到的最大数为dp[i]int[] dp new int[n1];//确定递推公式 dp[i] Math.max(dp[i],j*dp[i-1]);//确定遍历顺序从前往后,并举例推导dp[2] 1;for (int i 3; i n; i) {for (int j 1; j i - j; j) {dp[i] Math.max(dp[i],Math.max(j*dp[i-j],j*(i-j)));}}return dp[n];}
}
时间复杂度O(n^2)空间复杂度O(n) 96.不同的二叉搜索树
思路
这道题目描述很简短但这得怎么统计呢
关于什么是二叉搜索树之前在讲解二叉树专题的时候详细讲解过了可以看看这篇二叉树二叉搜索树登场 (opens new window)再回顾一波。
了解了二叉搜索树之后应该先举几个例子画画图看看有没有什么规律如图 n为1的时候有一棵树n为2有两棵树这个是很直观的。 来看看n为3的时候有哪几种情况。
当1为头结点的时候其右子树有两个节点看这两个节点的布局是不是和 n 为2的时候两棵树的布局是一样的啊
可能有同学问了这布局不一样啊节点数值都不一样。别忘了我们就是求不同树的数量并不用把搜索树都列出来所以不用关心其具体数值的差异
当3为头结点的时候其左子树有两个节点看这两个节点的布局是不是和n为2的时候两棵树的布局也是一样的啊
当2为头结点的时候其左右子树都只有一个节点布局是不是和n为1的时候只有一棵树的布局也是一样的啊
发现到这里其实我们就找到了重叠子问题了其实也就是发现可以通过dp[1] 和 dp[2] 来推导出来dp[3]的某种方式。
思考到这里这道题目就有眉目了。
dp[3]就是 元素1为头结点搜索树的数量 元素2为头结点搜索树的数量 元素3为头结点搜索树的数量
元素1为头结点搜索树的数量 右子树有2个元素的搜索树数量 * 左子树有0个元素的搜索树数量
元素2为头结点搜索树的数量 右子树有1个元素的搜索树数量 * 左子树有1个元素的搜索树数量
元素3为头结点搜索树的数量 右子树有0个元素的搜索树数量 * 左子树有2个元素的搜索树数量
有2个元素的搜索树数量就是dp[2]。
有1个元素的搜索树数量就是dp[1]。
有0个元素的搜索树数量就是dp[0]。
所以dp[3] dp[2] * dp[0] dp[1] * dp[1] dp[0] * dp[2]
如图所示 此时我们已经找到递推关系了那么可以用动规五部曲再系统分析一遍。
确定dp数组dp table以及下标的含义
dp[i] 1到i为节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i]。
也可以理解是i个不同元素节点组成的二叉搜索树的个数为dp[i] 都是一样的。
以下分析如果想不清楚就来回想一下dp[i]的定义
确定递推公式
在上面的分析中其实已经看出其递推关系 dp[i] dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量]
j相当于是头结点的元素从1遍历到i为止。
所以递推公式dp[i] dp[j - 1] * dp[i - j]; j-1 为j为头结点左子树节点数量i-j 为以j为头结点右子树节点数量
dp数组如何初始化
初始化只需要初始化dp[0]就可以了推导的基础都是dp[0]。
那么dp[0]应该是多少呢
从定义上来讲空节点也是一棵二叉树也是一棵二叉搜索树这是可以说得通的。
从递归公式上来讲dp[以j为头结点左子树节点数量] * dp[以j为头结点右子树节点数量] 中以j为头结点左子树节点数量为0也需要dp[以j为头结点左子树节点数量] 1 否则乘法的结果就都变成0了。
所以初始化dp[0] 1
确定遍历顺序
首先一定是遍历节点数从递归公式dp[i] dp[j - 1] * dp[i - j]可以看出节点数为i的状态是依靠 i之前节点数的状态。
那么遍历i里面每一个数作为头结点的状态用j来遍历。
代码如下
for (int i 2; i n; i) {for (int j 1; j i; j) {dp[i] dp[j-1]*dp[i-j];}
}
举例推导dp数组
n为5时候的dp数组状态如图 当然如果自己画图举例的话基本举例到n为3就可以了n为4的时候画图已经比较麻烦了。
代码如下
class Solution {public int numTrees(int n) {//确定dp数组及其下标的含义// 由i个结点构成的互不相同的二叉树有dp[i]个int[] dp new int[n1];//确定递推公式 dp[i]2*dp[i-3]*dp[i-1] dp[i-2]*dp[i-2];//dp数组初始化dp[0]1;dp[1]1;for (int i 2; i n; i) {for (int j 1; j i; j) {dp[i] dp[j-1]*dp[i-j];}}return dp[n];}
}
时间复杂度$O(n^2)$空间复杂度$O(n)$ 还行基本上都有点自己的思路的但是还是想不到具体的递推公式。