用了mip的网站,彩虹云主机,亿赐客网站,工程信息平台有哪些统计信号处理基础 - 估计与检测理论 估计部分习题3.7公式推导题目证明结论得证题目
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统计信号处理基础 - 估计与检测理论 估计部分习题3.7公式推导题目证明结论得证题目
相信学习信号检测与估计的童鞋们肯定看到过Steven M.Kay大牛的书非常厚的一本不得不说人家的书就是写得好浅显易懂当然是要从头把基础的东西都掌握了在估计部分第三章中例题3.4中遇到了下面这个公式在习题3.7中要求证明首先看题目 1N∑n0N−1cos(4πf0n2ϕ)≈0\frac{1}{N}\sum\limits_{n 0}^{N - 1} {\cos (4\pi {f_0}n 2\phi ) \approx 0}N1n0∑N−1cos(4πf0n2ϕ)≈0 要使上式成立f0{f_0}f0必须满足以下条件f0≠0,f0≠1/2{f_0} \ne 0,\quad {f_0} \ne 1/2f00,f01/2
证明
令α4πf0,β2ϕ\alpha 4\pi {f_0},\quad \beta 2\phiα4πf0,β2ϕ 则1N∑n0N−1cos(αnβ)1NRe(∑nej(αnβ))1NRe(ejβ⋅1−ejαN1−ejα)1NRe(ejβ⋅ejαN/2ejα/2⋅e−jαN/2−ejαN/2e−jα/2−ejα/2)1NRe(ejβ⋅ejαN/2ejα/2⋅e−jαN/2−ejαN/2e−jα/2−ejα/2)1NRe(ejβ⋅ejαN−12⋅sin(αN/2)sin(α/2))sin(αN/2)Nsin(α/2)⋅cos(αN−12β)\begin{array}{l} \frac{1}{N}\sum\limits_{n 0}^{N - 1} {\cos (\alpha n \beta )} \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {\sum\limits_n {{e^{j(\alpha n \beta )}}} } \right)\\ \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot \frac{{1 - {e^{j\alpha N}}}}{{1 - {e^{j\alpha }}}}} \right)\\ \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot \frac{{{e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{j\alpha /2}}}} \cdot \frac{{{e^{ - j\alpha N/2}} - {e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{ - j\alpha /2}} - {e^{j\alpha /2}}}}} \right)\\ \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot \frac{{{e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{j\alpha /2}}}} \cdot \frac{{{e^{ - j\alpha N/2}} - {e^{j\alpha N/2}}}}{{{e^{ - j\alpha /2}} - {e^{j\alpha /2}}}}} \right)\\ \frac{1}{N}{\mathop{\rm Re}\nolimits} \left( {{e^{j\beta }} \cdot {e^{j\alpha \frac{{N - 1}}{2}}} \cdot \frac{{\sin (\alpha N/2)}}{{\sin (\alpha /2)}}} \right)\\ \frac{{\sin (\alpha N/2)}}{{N\sin (\alpha /2)}} \cdot \cos \left( {\alpha \frac{{N - 1}}{2} \beta } \right) \end{array}N1n0∑N−1cos(αnβ)N1Re(n∑ej(αnβ))N1Re(ejβ⋅1−ejα1−ejαN)N1Re(ejβ⋅ejα/2ejαN/2⋅e−jα/2−ejα/2e−jαN/2−ejαN/2)N1Re(ejβ⋅ejα/2ejαN/2⋅e−jα/2−ejα/2e−jαN/2−ejαN/2)N1Re(ejβ⋅ejα2N−1⋅sin(α/2)sin(αN/2))Nsin(α/2)sin(αN/2)⋅cos(α2N−1β)
结论
当α≠0,α≠2π时即f0≠0,f0≠1/2时原式约为0。\alpha \ne 0,\;\alpha \ne 2\pi时即 {f_0} \ne 0,\quad {f_0} \ne 1/2时原式约为0。α0,α2π时即f00,f01/2时原式约为0。
得证
