滨州医学院做计算机作业的网站,网站漂浮广告,网站免费正能量安全,kk网龙岩整波滤波器 1. 整波滤波器推导2. 线性动态系统输出端的随机信号的方差 整波滤波器是一类能够整合具有任意频谱密度的静定随机信号的滤波器。其输入信号往往是白噪声。
1. 整波滤波器推导
由统计动力学笔记#xff08;二#xff09;频谱密度与线性随机系统的动态准确性… 整波滤波器 1. 整波滤波器推导2. 线性动态系统输出端的随机信号的方差 整波滤波器是一类能够整合具有任意频谱密度的静定随机信号的滤波器。其输入信号往往是白噪声。
1. 整波滤波器推导
由统计动力学笔记二频谱密度与线性随机系统的动态准确性自留用一文可以知道系统输出 x x x和输入 u u u之间的互频谱密度 S x ( ω ) W ( j ω ) W ( − j ω ) S u ( ω ) (1) S_x (\omega) W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) \tag{1} Sx(ω)W(jω)W(−jω)Su(ω)(1)当输入为白噪声时 S u ( ω ) S n ( ω ) 1 S_u (\omega) S_n (\omega) 1 Su(ω)Sn(ω)1则 S x ( ω ) W ( j ω ) W ( − j ω ) (2) S_x (\omega) W(j \omega) W(-j \omega) \tag{2} Sx(ω)W(jω)W(−jω)(2)这样一来只要将输出端 x x x的频谱密度分解为2个共轭的部分就可以得到系统的传递函数。这一步也称为频谱密度的分解。
例输出端的频谱密度为 S x ( ω ) 4 4 ω 2 1 2 2 j ω 1 ⋅ 2 2 ( − j ω ) 1 S_x (\omega) \frac{4}{4\omega^2 1} \frac{2}{2 j \omega 1} \cdot \frac{2}{2 (- j\omega) 1 } Sx(ω)4ω2142jω12⋅2(−jω)12则系统的传函为 W ( j ω ) 2 2 j ω 1 W(j \omega) \frac{2}{2 j \omega 1} W(jω)2jω12即 W ( s ) 2 2 s 1 W({\rm s}) \frac{2}{2 {\rm s} 1} W(s)2s12
2. 线性动态系统输出端的随机信号的方差
方差的定义式在统计动力学笔记二频谱密度与线性随机系统的动态准确性自留用一文的式(5)已给出 D x R x ( 0 ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S x ( ω ) d ω D_x R_x (0) \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_x (\omega) {\rm d} \omega DxRx(0)2π1∫−∞∞Sx(ω)dω代入式(1) D x 1 2 π ∫ − ∞ ∞ W ( j ω ) W ( − j ω ) S u ( ω ) d ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ W ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) d ω (3) D_x \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty W(j \omega) W(-j \omega) S_u (\omega) {\rm d} \omega \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \big\lvert W(j \omega) \big\rvert^2 S_u (\omega) {\rm d} \omega \tag{3} Dx2π1∫−∞∞W(jω)W(−jω)Su(ω)dω2π1∫−∞∞ W(jω) 2Su(ω)dω(3)式(3)的计算方式有如下一套固定的方法称为“ I n I_n In – 积分法” I n 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ G ( j ω ) ∣ 2 ∣ H n ( j ω ) ∣ 2 d ω 1 2 π ∫ − ∞ ∞ G n ( j ω ) H n ( j ω ) H n ( − j ω ) d ω (4) I_n \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ \big\lvert G(j \omega) \big\rvert^2 }{ \big\lvert H_n(j \omega) \big\rvert^2 } {\rm d} \omega \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ G_n (j \omega) }{ H_n(j \omega) H_n(-j \omega) } {\rm d} \omega \tag{4} In2π1∫−∞∞ Hn(jω) 2 G(jω) 2dω2π1∫−∞∞Hn(jω)Hn(−jω)Gn(jω)dω(4)其中 G n ( j ω ) b 0 ( j ω ) 2 n − 2 b 1 ( j ω ) 2 n − 4 ⋯ b n − 1 , H n ( j ω ) a 0 ( j ω ) n a 1 ( j ω ) n − 1 ⋯ a n (5) G_n (j \omega) b_0 (j \omega)^{2n-2} b_1 (j \omega)^{2n-4} \cdots b_{n-1}, \\ H_n (j \omega) a_0 (j \omega)^{n} a_1 (j \omega)^{n-1} \cdots a_n \tag{5} Gn(jω)b0(jω)2n−2b1(jω)2n−4⋯bn−1,Hn(jω)a0(jω)na1(jω)n−1⋯an(5)关于式(4)(5)有如下几点 1若积分式的分母阶数为 n n n则实际系统中分子的阶数不会超过 2 n − 2 2n-2 2n−2。 2积分式分母 H n ( j ω ) H n ( − j ω ) H_n(j \omega) H_n(-j \omega) Hn(jω)Hn(−jω)为 ω \omega ω的偶函数。 3积分式分子 G n ( j ω ) G_n(j \omega) Gn(jω)只含有 j ω j\omega jω的偶次幂。若出现了奇次幂则可以直接忽视掉因为积分后奇次幂将等于零。 4积分式分母中的 H n ( j ω ) H_n(j \omega) Hn(jω)应当是稳定的。
则对于 I n I_n In – 积分其计算方法如下 I n ( − 1 ) n 1 N n 2 a 0 D n (6) I_n (-1) ^{n1} \frac{N_n}{2a_0 D_n} \tag{6} In(−1)n12a0DnNn(6)其中 D n ∣ a 1 a 0 0 ⋯ 0 a 3 a 2 a 1 ⋯ 0 a 5 a 4 a 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 0 ⋯ a n ∣ , (7) D_n \begin{vmatrix} a_1 a_0 0 \cdots 0 \\ a_3 a_2 a_1 \cdots 0 \\ a_5 a_4 a_3 \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \ddots \vdots \\ 0 0 0 \cdots a_n \end{vmatrix} \tag{7}, Dn a1a3a5⋮0a0a2a4⋮00a1a3⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮an ,(7) N n ∣ b 0 a 0 0 ⋯ 0 b 1 a 2 a 1 ⋯ 0 b 2 a 4 a 3 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ b n − 1 0 0 ⋯ a n ∣ (8) N_n \begin{vmatrix} b_0 a_0 0 \cdots 0 \\ b_1 a_2 a_1 \cdots 0 \\ b_2 a_4 a_3 \cdots 0 \\ \vdots \vdots \vdots \ddots \vdots \\ b_{n-1} 0 0 \cdots a_n \end{vmatrix} \tag{8} Nn b0b1b2⋮bn−1a0a2a4⋮00a1a3⋮0⋯⋯⋯⋱⋯000⋮an (8) N n N_n Nn只是把 D n D_n Dn中的第一列替换成了 b i b_i bi。
例设系统的传递函数为 W ( s ) K T s 1 W({\rm s}) \frac{K}{T {\rm s} 1} W(s)Ts1K输入信号的频谱密度为 S u ( ω ) D u α 2 ω 2 S_u (\omega) \frac{D_u}{\alpha^2 \omega^2} Su(ω)α2ω2Du计算该系统的均方差。 首先得到系统误差的传函 Φ e ( s ) 1 1 W ( s ) T s 1 T s 1 K \Phi_e ({\rm s}) \frac{1}{1 W( {\rm s})} \frac{T{\rm s} 1}{T{\rm s} 1 K} Φe(s)1W(s)1Ts1KTs1代入式(1)计算误差的频谱密度 S e ( ω ) ∣ Φ e ( j ω ) ∣ 2 S u ( ω ) ∣ T ( j ω ) 1 T ( j ω ) 1 K ∣ 2 D u α 2 ω 2 D u ( T 2 ω 2 1 ) ∣ ( T ( j ω ) 1 K ) ( j ω α ) ∣ 2 D u ( T 2 ω 2 1 ) ∣ T ( j ω ) 2 ( α T 1 K ) j ω ( 1 K ) α ∣ 2 \begin{aligned} S_e (\omega) \left| \Phi_e (j \omega) \right|^2 S_u (\omega) \left| \frac{T(j \omega) 1}{T(j \omega) 1 K} \right|^2 \frac{D_u}{\alpha^2 \omega^2} \\ \frac{D_u \left( T^2 \omega^2 1\right) }{ \left| \left( T( j\omega) 1 K \right) \left( j\omega \alpha \right) \right|^2 } \\ \frac{D_u \left( T^2 \omega^2 1 \right) }{ \left| T(j\omega)^2 \left( \alpha T 1 K \right) j\omega (1 K) \alpha \right|^2 } \end{aligned} Se(ω)∣Φe(jω)∣2Su(ω) T(jω)1KT(jω)1 2α2ω2Du∣(T(jω)1K)(jωα)∣2Du(T2ω21)∣T(jω)2(αT1K)jω(1K)α∣2Du(T2ω21)均方差为类比统计动力学笔记二频谱密度与线性随机系统的动态准确性自留用一文式(5) e 2 ‾ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ S e ( ω ) d ω D u I 2 \overline{e^2} \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty S_e (\omega) {\rm d} \omega D_u I_2 e22π1∫−∞∞Se(ω)dωDuI2其中 I 2 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ( T 2 ω 2 1 ) d ω ∣ T ( j ω ) 2 ( α T 1 K ) j ω ( 1 K ) α ∣ 2 I_2 \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^\infty \frac{ \left( T^2 \omega^2 1 \right) {\rm d} \omega }{ \left| T(j\omega)^2 \left( \alpha T 1 K \right) j\omega (1 K) \alpha \right|^2 } I22π1∫−∞∞∣T(jω)2(αT1K)jω(1K)α∣2(T2ω21)dω可见 G 2 ( j ω ) T 2 ⏟ b 0 ω 2 1 ⏟ b 1 , G_2 (j\omega) \underbrace{T^2}_{b_0} \omega^2 \underbrace{1}_{b_1}, G2(jω)b0 T2ω2b1 1, H 2 ( j ω ) T ⏟ a 0 ( j ω ) 2 ( α T 1 K ) ⏟ a 1 j ω ( 1 K ) α ⏟ a 2 H_2 (j\omega) \underbrace{T}_{a_0} (j\omega)^2 \underbrace{\left( \alpha T 1 K \right)}_{a_1} j\omega \underbrace{(1 K) \alpha}_{a_2} H2(jω)a0 T(jω)2a1 (αT1K)jωa2 (1K)α计算两个行列式 D 2 ∣ a 1 a 0 a 3 a 2 ∣ ∣ α T 1 K T 0 ( 1 K ) α ∣ α ( α T 1 K ) ( 1 K ) , D_2 \begin{vmatrix} a_1 a_0 \\ a_3 a_2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} \alpha T 1 K T \\ 0 (1 K) \alpha \end{vmatrix} \alpha \left( \alpha T 1 K \right) (1 K), D2 a1a3a0a2 αT1K0T(1K)α α(αT1K)(1K), N 2 ∣ b 0 a 0 b 1 a 2 ∣ ∣ T 2 T 1 ( 1 K ) α ∣ α T 2 ( 1 K ) − T N_2 \begin{vmatrix} b_0 a_0 \\ b_1 a_2 \end{vmatrix} \begin{vmatrix} T^2 T \\ 1 (1 K) \alpha \end{vmatrix} \alpha T^2 (1 K) - T N2 b0b1a0a2 T21T(1K)α αT2(1K)−T故 I 2 ( − 1 ) 2 1 N 2 2 a 0 D 2 − α T 2 ( 1 K ) − T 2 T α ( α T 1 K ) ( 1 K ) I_2 (-1) ^{21} \frac{N_2}{2a_0 D_2} - \frac{ \alpha T^2 (1 K) - T }{2 T \alpha \left( \alpha T 1 K \right) (1 K) } I2(−1)212a0D2N2−2Tα(αT1K)(1K)αT2(1K)−T则 e 2 ‾ D u I 2 D u [ T − α T 2 ( 1 K ) ] 2 T α ( α T 1 K ) ( 1 K ) D u [ 1 − α T ( 1 K ) ] 2 α ( α T 1 K ) ( 1 K ) \overline{e^2} D_u I_2 \frac{ D_u \left[ T - \alpha T^2 (1 K) \right] }{2 T \alpha \left( \alpha T 1 K \right) (1 K) } \frac{ D_u \left[ 1 - \alpha T (1 K) \right] }{2 \alpha \left( \alpha T 1 K \right) (1 K) } e2DuI22Tα(αT1K)(1K)Du[T−αT2(1K)]2α(αT1K)(1K)Du[1−αT(1K)]故均方差为 e 2 ‾ D u [ 1 − α T ( 1 K ) ] 2 α ( α T 1 K ) ( 1 K ) \sqrt{\overline{e^2}} \sqrt{ \frac{ D_u \left[ 1 - \alpha T (1 K) \right] }{2 \alpha \left( \alpha T 1 K \right) (1 K) } } e2 2α(αT1K)(1K)Du[1−αT(1K)]
