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复习定积分#xff08;单变量#xff09;
二重积分
今日小结 复习定积分#xff08;单变量#xff09;
在之前#xff0c;先复习一下之前学习的内容。使用matlab求解定积分的步骤大概如下#xff1a;
定义符号变量#xff08;syms关键字#xff09;定义内联函…目录
复习定积分单变量
二重积分
今日小结 复习定积分单变量
在之前先复习一下之前学习的内容。使用matlab求解定积分的步骤大概如下
定义符号变量syms关键字定义内联函数inline函数使用matlab内置函数进行计算定积分或者不定积分使用int函数具体求解定积分还是不定积分根据参数的数量决定
我们都知道定积分是求解一个图形与坐标轴围成的面积。而今天我们需要深入理解一下定积分是求解两条曲线之间围成的面积如果只有一个公式比如x我们可以理解成 x-0yx 这个函数减去了 y0这个常数函数或者说上面函数与x轴围成的面积减去了下面函数与x轴围成的面积并且这个面积在x轴上方是正的下方是负的这样我们就可以推广假设我们现在有两条曲线一个是sinx一个是 ,我们求在0-pi的范围内两个图形围成的面积容易知道两个图形大概是这样围起来的 PS: 上图的代码和讲解如下
%% 目标图像clc;clear all; % 清除原先的东西x 0:0.01:pi; % x的范围是0-pi以0.01为一个小分割点细分出一个范围y1 sin(x); % sinxy2 exp(x); % e^xfigure; % 弄一个figure的框体hold on; % 保持这个窗体保证后面的内容都画在了上面hold off解除subplot(221); % 开辟子窗体221:共2行2列里面的第一个fill(x,y1,r); % 画图并填充颜色变量是x函数是y1颜色是r红色title(ysinx);% 设置标题必需先fill才能添加标题否则会失败subplot(222); % 开辟子窗体222共2行2列里面第二个fill(x,y2,b); % b 蓝色title(ye^x);subplot(223); % 开辟子窗体223共2行2列里面第三个fill([x, fliplr(x)],[y1,fliplr(y2)],g);% 两个函数直接填充颜色每一个方括号代表一个函数的内容title(两个函数中间的部分);hold off;
OK那么我们就可以很容易的使用int()函数算出这样一个定积分代码如下
%% 对上面的函数进行计算定积分syms x;f exp(x) - sin(x);res_int int(f, x, 0, pi);disp(res_int); 上面左边是我手算结果右边是matlab计算结果可见我算的还是很准的哈哈哈哈哈哈哈。 二重积分
上面复习了定积分的计算和一般概念下面我们看二重积分先了解下二重积分是什么吧
二重积分的一个概念是求体积还有其他的比如薄片质量等在这里先不谈先说体积的问题那么明确概念其实就不难了定积分求面积、二重积分求体积那么这个体积是哪里的体积呢 如图粉红色的是zf(x,y)的函数图像下面是地面的阴影部分红色的是边界这个体积就是粉色的顶部与底面阴影之间的一个曲顶柱体的体积那这个体积怎么求呢
在定积分中我们把整个面积分成了无数个小面积计算后累加同样的在二重积分中我们也采取同样的方法我们把这个柱体切成一个一个的小柱体就像图中的那个黄色柱体一样假设我们把整个底面分成了无数份每一份的底面积都无限接近于0假设这个底面积是d 那么这个地方的高就是f(x,y)所以这个小柱体的体积就是 f(x,y)d 我们只需要将这些小体积全部加起来就能得到整个曲顶柱体的体积公式了 并且我们很容易发现积分的区间其实就是底面被积函数是曲面的公式。公式中各个符号在下图中体现 现在计算一个例子给大家看假设底面如图所示灰色阴影部分 先积分x(Y型)时区域可表示为Dx {(x,y)|0y1, yx1}。
先积分y(X型)时区域可表示为Dy {(x,y)|0yx, 0x1}。
下面我们以X型为例使用matlab计算曲面为 f(x,y) xcos(y)的曲顶柱体的体积 详细的代码以及注释见下方
%% 计算二重积分clear all;f (x,y)x.*cos(y); % 定义一个函数句柄两个变量分别是x,y% 这样定义函数句柄时需要在所有的运算前加一个.表示对应元素各自计算不按照矩阵的规则ymax (x) x; % 根据0yx处右方的yx反解出yres integral2(f,0,1,0,ymax);% 计算二重积分的函数% integral2(fun, xmin, xmax, ymin, ymax)disp(res);
最后让我们欣赏一下这个曲面的形状吧 代码如下
%% 看一看这个曲面吧[x,y] meshgrid(0:0.001:1, 0:0.001:1);% 设置x和y的区间以及细分程度z (x.*cos(y)); % 使用一个z来代表这个函数mesh(x,y,z) % 画出二维曲面图像title(x*cos(y))
那么今天就先到这里吧三重积分留到下次在讲解谢谢观看 今日小结
今天我们学到了如下的知识
复习了之前学习的定积分、不定积分的内容学习了二重积分的概念以及应用的大概场景求曲顶柱体体积平面薄片质量底面换位薄片被积函数即薄片面密度的函数等。学会了如何在一个figure里面绘制多个图像学会了如何在matlab中绘制图像、对目标区域填充颜色并命名标题学会了怎么使用matlab的integral2计算二重积分学会了怎么在matlab中声明定义一个函数句柄或者说创建一个多元函数以及怎么反解一个函数中某个变量y (x) x 此处函数是yx其实说白了反解函数就是定义函数句柄。学会了怎么在matlab中绘制二维曲面的图像。
