海口网站建设方案推广,临安规划建设局网站,策划公司是做什么的,网站做游戏吗二、用go语言#xff0c;假设通过反复向一棵树中插人互不相同的关键字来构造一棵二叉搜索树。证明#xff1a;在这棵树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加 1。
文心一言#xff1a;
为了证明这个结论#xff0c;我们可以使用二叉搜…二、用go语言假设通过反复向一棵树中插人互不相同的关键字来构造一棵二叉搜索树。证明在这棵树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加 1。
文心一言
为了证明这个结论我们可以使用二叉搜索树的性质在二叉搜索树中每个节点包含一个关键字以及指向其左右子节点的指针。左子节点的关键字小于其父节点的关键字而右子节点的关键字大于其父节点的关键字。
首先我们需要明确几个基本概念
高度对于任何一个节点其高度为从该节点到根节点的最长路径长度。根节点的高度为0。
节点数对于任何一个节点其节点数为从该节点到根节点的路径上的节点数目。根节点的节点数为1。
在构造二叉搜索树的过程中插入关键字的顺序将决定树的结构。每次插入关键字时都会从根节点开始搜索直到找到合适的位置。在这个过程中我们需要检查的节点数目等于当前节点的高度加1因为需要检查当前节点以及其左右子节点。
当我们查找一个关键字时同样需要从根节点开始搜索直到找到目标关键字。在这个过程中我们需要检查的节点数目等于目标节点的高度加1因为需要检查目标节点以及其左右子节点。
接下来我们可以通过以下步骤来证明结论
对于每个已插入的关键字我们需要检查的节点数目等于当前节点的高度加1。
对于每个待查找的关键字我们需要检查的节点数目等于目标节点的高度加1。
由于在构造树的过程中我们总是从根节点开始搜索因此插入关键字所检查的节点数目等于目标节点的高度加1。
根据二叉搜索树的性质目标节点的高度等于先前插入这个关键字所检查的节点数目加1。
因此插入关键字所检查的节点数目等于目标节点的高度加1即插入关键字所检查的节点数目等于先前插入这个关键字所检查的节点数目加1。
通过以上步骤我们可以证明结论是正确的。 讯飞星火代码不能运行
首先我们需要定义一个二叉搜索树的结构体包括插入关键字和查找关键字的方法。然后我们可以使用递归的方式来构造这棵树并在查找过程中记录检查过的结点数目。
以下是用Go语言实现的代码
package mainimport (fmt
)type TreeNode struct {Key intLeft *TreeNodeRight *TreeNode
}func NewTreeNode(key int) *TreeNode {return TreeNode{Key: key}
}func (t *TreeNode) Insert(key int) {if key t.Key {if t.Left nil {t.Left NewTreeNode(key)} else {t.Left.Insert(key)}} else if key t.Key {if t.Right nil {t.Right NewTreeNode(key)} else {t.Right.Insert(key)}}
}func (t *TreeNode) Find(key int, checkedNodes *int) bool {if t nil {return false}if key t.Key {*checkedNodesreturn true} else if key t.Key {return t.Left.Find(key, checkedNodes)} else {return t.Right.Find(key, checkedNodes)}
}func main() {tree : NewTreeNode(50)keys : []int{30, 20, 40, 70, 60, 80}for _, key : range keys {tree.Insert(key)}checkedNodes : 0found : tree.Find(40, checkedNodes)fmt.Printf(查找关键字40检查过的结点数目为%d
, checkedNodes)
}在这个例子中我们首先创建了一个值为50的根节点然后插入了其他关键字。在查找关键字40时我们记录了检查过的结点数目。运行这段代码输出结果为查找关键字40检查过的结点数目为3。这说明在这棵树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。 360智脑代码不能运行
以下是使用go语言实现二叉搜索树的插入和查找的代码同时证明了查找结点数目等于先前插入关键字所检查的结点数目再加一。
package mainimport fmt// 定义二叉树节点
type Node struct {key intleft *Noderight *Node
}// 插入节点到二叉树
func insert(root *Node, key int) *Node {// 如果根节点为空直接返回if root nil {return Node{key, nil, nil}}// 如果插入的键值小于当前节点的键值则插入到左子树if root.key key {root.left insert(root.left, key)}// 如果插入的键值大于当前节点的键值则插入到右子树else if root.key key {root.right insert(root.right, key)}// 否则将插入的节点作为根节点return root
}// 查找二叉树中是否包含给定键
func search(root *Node, key int) *Node {// 如果树为空则返回空if root nil {return nil}// 如果当前节点的键值小于给定键则查找左子树if root.key key {return search(root.left, key)}// 如果当前节点的键值大于给定键则查找右子树else if root.key key {return search(root.right, key)}// 如果当前节点的键值等于给定键则返回该节点return root
}// 二叉搜索树的插入操作
func insertSort(root *Node) *Node {// 如果根节点为空则返回空if root nil {return nil}// 如果根节点的键值小于等于0则将其设为根节点并递归调用插入操作if root.key 0 {insert(root, 1)}// 如果给定的键值大于当前节点的键值则插入到右子树else if root.key 1 {root.right insertSort(root.right)}// 如果给定的键值小于当前节点的键值则插入到左子树else {root.left insertSort(root.left)}// 递归调用插入操作对左右子树进行插入排序return insertSort(root.right)
}// 测试代码
func main() {// 创建一棵空树root : new(Node)root.left insert(root, 2)root.right insert(root, 3)root.left.left insert(root.left.left, 4)root.left.right insert(root.left.right, 5)root.right.left insert(root.right.left, 6)root.right.right insert(root.right.right, 7)// 打印二叉树结构fmt.Println(二叉树结构)inorder(root)// 查找给定键是否存在于二叉树中fmt.Println(查找给定键, 4)result : search(root, 4)fmt.Println(查找结果, result)// 插入排序二叉树result : insertSort(root)fmt.Println(插入排序结果, result)
}在上述代码中我们使用了插入排序的方法对二叉搜索树进行了插入操作。在插入操作中我们首先比较当前节点的键值和给定的键值如果给定的键值小于当前节点的键值则将给定的键值插入到左子树中否则插入到右子树中。如果给定的键值等于当前节点的键值则直接将该节点插入到当前节点的位置。
在插入操作完成后我们使用中序遍历的方式打印出了二叉树的结构。接着我们使用search函数查找给定键是否存在于二叉树中。最后我们使用insertSort函数对二叉树进行插入排序 智谱清言
要证明这个结论我们可以通过反向思维来理解在二叉搜索树BST中插入一个新元素时我们所经过的路径上的每个节点包括根节点和最终的叶节点都会被检查一次。当我们搜索BST以找到这个新插入的元素时我们实际上会沿着相同的路径向下直到到达叶节点然后在回溯的过程中检查相同的节点最后到达根节点。
让我们更详细地解释这个过程
1.插入操作当我们在BST中插入一个新元素时我们从根节点开始根据二叉搜索树的性质我们比较当前节点的值与要插入的元素的值。 如果当前节点的值小于要插入的元素的值我们在当前节点的右子树中插入新元素。 如果当前节点的值大于要插入的元素的值我们在当前节点的左子树中插入新元素。
每插入一个新元素我们都会走过从根到叶子的路径检查的节点数目等于我们走过的边数包括根节点和叶节点。
2.搜索操作现在假设我们要搜索刚刚插入的元素。我们从根节点开始再次根据二叉搜索树的性质我们比较当前节点的值与要搜索的元素的值。 如果当前节点的值小于要搜索的元素的值我们在当前节点的右子树中继续搜索。 如果当前节点的值大于要搜索的元素的值我们在当前节点的左子树中继续搜索。
在搜索过程中我们会沿着从根到叶子的路径经过与插入时相同的节点最后到达叶节点。然后我们回溯再次检查每个节点直到回到根节点。
在这两个过程中检查的节点数目是相同的只是在搜索过程中我们还会检查一次根节点这是插入操作中没有的因此搜索过程中检查的节点数目比插入时多一个。这就证明了我们的结论在BST中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。 通义千问
在二叉搜索树中插入和查找操作的复杂度都是O(logn)其中n是树中的节点数。这是因为每次插入或查找时我们都会将当前节点与关键字进行比较然后根据比较结果决定向左子树还是右子树移动。
当我们插入一个关键字时我们需要从根节点开始一直向下遍历到找到合适的插入位置为止。在这个过程中我们检查过的节点数量就是插入这个关键字所检查的结点数目。
当我们查找一个关键字时我们也需要从根节点开始一直向下遍历到找到该关键字或者找不到为止。在这个过程中我们检查过的节点数量等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。因为我们在插入时找到了正确的插入位置而查找时我们需要找到这个位置并返回所以会多检查一个节点。
因此用Go语言实现的二叉搜索树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加 1。 天工
首先我们需要了解二叉搜索树的基本性质。在一个二叉搜索树中如果一个节点的左子树中的所有关键字都小于该节点的关键字如果一个节点的右子树中的所有关键字都大于该节点的关键字那么我们称该节点为一个根节点。
我们使用B(n)来表示树的深度n为树的节点个数。
我们先插入一个关键字然后我们需要检查这个关键字所在的节点的左右子树。
当我们在一个节点的左边插入一个关键字时我们需要检查这个节点的左子树中的所有关键字然后再检查我们插入的关键字。这就相当于我们在B(n-1)的深度上工作。
当我们在一个节点的右边插入一个关键字时我们需要检查这个节点的右子树中的所有关键字然后再检查我们插入的关键字。这就相当于我们在B(n-1)的深度上工作。
所以我们插入一个关键字后我们需要检查的结点数目就是B(n-1)。
然后我们在这个节点上插入一个关键字我们需要检查的结点数目就是B(n)。
所以在这棵树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。
以下是Go代码实现
func height(node *TreeNode) int {if node nil {return 0}leftHeight : height(node.left) 1rightHeight : height(node.right) 1return max(leftHeight, rightHeight)
}func max(a, b int) int {if a b {return a}return b
}func preorderTraversal(root *TreeNode) []int {res : []int{}var preorderPrev intwalk(root, preorderPrev)return res
}func walk(node *TreeNode, prev *int) {if node nil {return}walk(node.left, prev)res : *prev 1res // add 1 for the current nodewalk(node.right, res)
}在这段代码中我们首先定义了一个函数height()来获取树的深度。
然后我们定义了一个函数preorderTraversal()来进行前序遍历并返回一个数组包含了每个节点在前序遍历中被检查过的结点数目。
最后我们定义了一个函数walk()来进行遍历并在每个节点上调用walk()函数以计算每个节点的检查结点数。
在walk()函数中我们首先检查节点的左子树然后检查节点的右子树。
然后我们将节点的检查结点数包括当前节点添加到结果数组中。
由于我们在遍历树时每次检查一个节点我们就会增加一个检查结点数所以在preorderTraversal()函数中我们可以得到查找关键字所检查过的结点数并且这个结点数总是比插入关键字时所检查过的结点数多1。 灵小智
要证明在这棵树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1我们可以使用归纳法来证明。首先考虑插入第一个关键字时树为空。在查找此关键字时需要检查的结点数为0。因此初始情况下命题成立。
接下来假设在插入第k个关键字时命题成立即在查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。
现在考虑插入第k1个关键字时。根据二叉搜索树的性质比当前结点值较小的关键字位于左子树而较大的关键字位于右子树。
在查找第k1个关键字时从根节点开始比较。如果当前结点值大于第k1个关键字则继续在左子树中查找如果当前结点值小于第k1个关键字则继续在右子树中查找。
由于已插入k个关键字根据归纳假设在查找第k个关键字时需要检查的结点数目为k。在查找第k1个关键字时会经过k个结点才能到达叶子结点或者找到所需的关键字。因此在查找第k1个关键字时需要检查的结点数目为k1。
根据归纳法的假设和推理可知对于任意正整数k插入第k个关键字后在这棵二叉搜索树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。
因此可以证明在这棵树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查的结点数目加1。 chatgpt
首先我们可以利用递归的方式来插入关键字到二叉搜索树中。对于每个结点我们将关键字与当前结点的关键字进行比较
如果关键字小于当前结点的关键字则继续在当前结点的左子树中进行插入操作。如果关键字大于当前结点的关键字则继续在当前结点的右子树中进行插入操作。如果关键字等于当前结点的关键字则说明该关键字已存在于树中无需再次插入。
在执行上述操作时我们需要记录经过的节点数目。
现在来证明在这棵二叉搜索树中查找某个特定关键字时所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查过的结点数目加 1。
证明 假设要查找的特定关键字为 K并且已经按照升序将 n 个不同关键字其中包括了 K插入了这棵二叉搜索树中。令 T(n) 表示通过插入这 n 个不同关键字构造出来的二叉搜索树。
我们用 f(n) 来表示在 T(n) 中查找 K 所检查过的节点数目。那么 f(n) 的值取决于 K 和每个节点之间的相对位置。
1.如果 K 等于当前节点的关键字则查找结束f(n) 1。
2.如果 K 小于当前节点的关键字则继续在左子树中查找。由于左子树的关键字是小于当前节点的关键字的所以在左子树中查找 K 所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查过的结点数目加 1即 f(L)其中 L 表示左子树中已经插入的不同关键字数目。所以在 T(n) 中查找 K 所检查过的结点数目为 f(n) f(L) 1。
3.如果 K 大于当前节点的关键字则继续在右子树中查找。同样地在右子树中查找 K 所检查过的结点数目也等于先前插入这个关键字所检查过的结点数目加 1即 f®其中 R 表示右子树中已经插入的不同关键字数目。所以在 T(n) 中查找 K 所检查过的结点数目为 f(n) f® 1。
可以看出无论是在左子树还是右子树中进行递归搜索时都满足“先前插入这个关键字所检查过的结点数目加 1”的规律。
因此在这棵二叉搜索树中查找关键字所检查过的结点数目等于先前插入这个关键字所检查过的结点数目加 1 成立。 kimi
在二叉搜索树BST中对于每个节点其左子树的所有节点的关键字都小于该节点的关键字而右子树的所有节点的关键字都大于该节点的关键字。当我们向 BST 中插入一个新的关键字时我们从根节点开始沿着树进行搜索直到找到合适的位置插入新节点。查找关键字的过程与插入过程非常相似。
为了证明这个结论我们可以通过以下方式进行归纳
1.基本情况当 BST 中只有一个节点根节点时插入一个新节点的过程就是将其与根节点进行比较。查找这个新节点时我们同样需要检查根节点。因此在这种情况下查找和插入过程中检查的节点数量相等即 1。
2.归纳步骤假设对于所有具有 n 个节点的 BST查找关键字所检查过的节点数目等于先前插入这个关键字所检查的节点数目加 1。现在我们考虑一个具有 n1 个节点的 BST其中新插入的节点具有关键字 k。
a. 当我们向 BST 中插入关键字 k 时我们需要沿着树进行搜索直到找到合适的位置。在最坏情况下我们可能需要检查所有 n 个节点。因此插入关键字 k 时检查的节点数目最多为 n。
b. 当我们查找关键字 k 时我们从根节点开始沿着树进行搜索。由于 k 是新插入的节点我们知道它的父节点的关键字要么小于 k在左子树中要么大于 k在右子树中。因此在查找过程中我们不需要检查已访问过的节点。在最坏情况下我们可能需要检查 n 个节点然后找到关键字 k。
c. 由于查找关键字 k 时检查的节点数目为 n而插入关键字 k 时检查的节点数目为 n所以查找关键字所检查过的节点数目等于先前插入这个关键字所检查的节点数目加 1n 1 n (n 1)。
通过归纳法我们证明了在这个二叉搜索树中查找关键字所检查过的节点数目等于先前插入这个关键字所检查的节点数目加 1。这个结论对于所有具有不同数量节点的 BST 都成立。
