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假设表示
基于上述情况#xff0c;要使分类器的输出在[0,1]之间#xff0c;可以采用假设表示的方法。 设 h θ ( x ) g ( θ T x ) h_θ (x)g(θ^T x) hθ(x)g(θTx)#xff0c; 其中 g ( z ) 1 ( 1 e − z ) g(z)\frac{1}{(1e^{−z} )} g(z)(1e−z)1…逻辑回归案例
假设表示
基于上述情况要使分类器的输出在[0,1]之间可以采用假设表示的方法。 设 h θ ( x ) g ( θ T x ) h_θ (x)g(θ^T x) hθ(x)g(θTx) 其中 g ( z ) 1 ( 1 e − z ) g(z)\frac{1}{(1e^{−z} )} g(z)(1e−z)1, 称为逻辑函数Sigmoid function又称为激活函数生物学上的S型曲线 h θ ( x ) 1 ( 1 e − θ T X ) h_θ (x)\frac{1}{(1e^{−θ^T X} )} hθ(x)(1e−θTX)1
其两条渐近线分别为h(x)0和h(x)1
在分类条件下最终的输出结果是 h θ ( x ) P ( y 1 │ x , θ ) h_θ (x)P(y1│x,θ) hθ(x)P(y1│x,θ)
其代表在给定x的条件下 其y1的概率 P ( y 1 │ x , θ ) P ( y 0 │ x , θ ) 1 P(y1│x,θ)P(y0│x,θ)1 P(y1│x,θ)P(y0│x,θ)1
决策边界 Decision boundary
对假设函数设定阈值 h ( x ) 0.5 h(x)0.5 h(x)0.5 当 h ( x ) ≥ 0.5 h(x)≥0.5 h(x)≥0.5 时输出结果y1.
根据假设函数的性质当 x ≥ 0 时 x≥0时 x≥0时h(x)≥0.5 用 θ T x θ^T x θTx替换x则当 θ T x ≥ 0 θ^T x≥0 θTx≥0时 h ( x ) ≥ 0.5 y 1 h(x)≥0.5y1 h(x)≥0.5y1
解出 θ T x ≥ 0 θ^T x≥0 θTx≥0其答案将会是一个在每一个 x i x_i xi轴上都有的不等式函数。
这个不等式函数将整个空间分成了y1 和 y0的两个部分称之为决策边界。
激活函数的代价函数
在线性回归中的代价函数 J ( θ ) 1 m ∑ i 1 m 1 2 ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 J(θ)\frac{1}{m}∑_{i1}^m \frac{1}{2} (h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} )^2 J(θ)m1i1∑m21(hθ(x(i))−y(i))2
令 C o s t h θ ( x ) y 1 2 ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) 2 Costhθ (x)y\frac{1}{2}(h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} )^2 Costhθ(x)y21(hθ(x(i))−y(i))2 Cost是一个非凹函数有许多的局部最小值不利于使用梯度下降法。对于分类算法设置其代价函数为 J ( θ ) − 1 m ∑ i 1 m [ y ( i ) l o g ( h θ ( x ( i ) ) ) − ( 1 − y ( i ) ) ∗ l o g ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J(θ)-\frac{1}{m}∑_{i1}^m [y^{(i)}log(h_θ (x^{(i)}) )−(1-y^{(i)})*log(1-h_θ (x^{(i)}))] J(θ)−m1i1∑m[y(i)log(hθ(x(i)))−(1−y(i))∗log(1−hθ(x(i)))]
对其化简 C o s t h θ ( x ) , y − y l o g ( h θ ( x ) ) − ( ( 1 − y ) l o g ( 1 − h θ ( x ) ) ) Costh_θ (x),y−ylog(h_θ (x))−((1−y)log(1−h_θ (x))) Costhθ(x),y−ylog(hθ(x))−((1−y)log(1−hθ(x))) 检验 当 y 1 y1 y1时 − l o g ( h θ ( x ) ) −log(h_θ (x)) −log(hθ(x)) 当 y 0 y0 y0时 − l o g ( 1 − h θ ( x ) ) −log(1−h_θ (x)) −log(1−hθ(x))
那么代价函数可以写成 J ( θ ) − 1 m [ ∑ i 1 m y ( i ) l o g ( h θ ( x ( i ) ) ) ( 1 − y ( i ) ) l o g ( 1 − h θ ( x ( i ) ) ) ] J(θ)-\frac{1}{m}[∑_{i1}^m y^{(i)} log(h_θ(x^{(i)} ))(1−y^{(i)}) log(1−h_θ (x^{(i)}))] J(θ)−m1[i1∑my(i)log(hθ(x(i)))(1−y(i))log(1−hθ(x(i)))]
对于代价函数采用梯度下降算法求θ的最小值 θ j ≔ θ j − α ∂ J ( θ ) ∂ θ j θ_j≔θ_j−α\frac{∂J(θ)}{∂θ_j} θj:θj−α∂θj∂J(θ) 代入梯度 θ j ≔ θ j − α ∑ i 1 m ( h θ ( x ( i ) ) − y ( i ) ) x j i θ_j≔θ_j−α∑_{i1}^m(h_θ (x^{(i)} )−y^{(i)} ) x_j^i θj:θj−αi1∑m(hθ(x(i))−y(i))xji
sklearn 代码
导入库
## 基础函数库
import numpy as np ## 导入画图库
import matplotlib.pyplot as plt## 导入逻辑回归模型函数
from sklearn.linear_model import LogisticRegression模型训练
## 构造数据集
x_fearures np.array([[-1, -2], [-2, -1], [-3, -2], [1, 3], [2, 1], [3, 2]])
y_label np.array([0, 0, 0, 1, 1, 1])## 调用逻辑回归模型
lr_clf LogisticRegression()## 用逻辑回归模型拟合构造的数据集
lr_clf lr_clf.fit(x_fearures, y_label) #其拟合方程为 yw0w1*x1w2*x2模型参数查看
## 查看其对应模型的w
print(the weight of Logistic Regression:,lr_clf.coef_)## 查看其对应模型的w0
print(the intercept(w0) of Logistic Regression:,lr_clf.intercept_)可视化构造的数据样本点
plt.figure()
plt.scatter(x_fearures[:,0],x_fearures[:,1], cy_label, s50, cmapviridis)
plt.title(Dataset)
plt.show()模型预测
## 在训练集和测试集上分别利用训练好的模型进行预测
y_label_new1_predict lr_clf.predict(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict lr_clf.predict(x_fearures_new2)print(The New point 1 predict class:\n,y_label_new1_predict)
print(The New point 2 predict class:\n,y_label_new2_predict)## 由于逻辑回归模型是概率预测模型前文介绍的 p p(y1|x,\theta),所以我们可以利用 predict_proba 函数预测其概率
y_label_new1_predict_proba lr_clf.predict_proba(x_fearures_new1)
y_label_new2_predict_proba lr_clf.predict_proba(x_fearures_new2)print(The New point 1 predict Probability of each class:\n,y_label_new1_predict_proba)
print(The New point 2 predict Probability of each class:\n,y_label_new2_predict_proba)
