优化推广网站排名,房地产网站的设计要求,前端开发主要工作内容,社交电商怎么入手文章目录 2个向量组间的表示关系向量组的相互表出向量组用另一个向量组表示#x1f47a;线性表示的系数矩阵矩阵乘法与线性表出列向量组线性表示行向量组线性表示 向量组等价#x1f47a;向量组等价的性质推论 等价矩阵与向量组等价的关系行等价矩阵的行向量组等价列等价矩阵… 文章目录 2个向量组间的表示关系向量组的相互表出向量组用另一个向量组表示线性表示的系数矩阵矩阵乘法与线性表出列向量组线性表示行向量组线性表示 向量组等价向量组等价的性质推论 等价矩阵与向量组等价的关系行等价矩阵的行向量组等价列等价矩阵的列向量组小结向量组等价和矩阵等价的比较 概念迁移:线性方程组之间的等价方程组的线性组合方程组被另一个方程组线性表示方程组等价线性方程组同解问题 向量组可被另一个向量组线性表示判定定理分析定理推论:两向量组等价的充要条件向量组的矩阵秩间关系 矩阵方法n维单位坐标向量 2个向量组间的表示关系
向量组的相互表出 设有两个同维向量组 A : α 1 , ⋯ , α s A:\alpha_1,\cdots,\alpha_s A:α1,⋯,αs, B : β 1 , ⋯ , β t {B}:\beta_1,\cdots,\beta_{t} B:β1,⋯,βt 若 β 1 , ⋯ , β t \beta_1,\cdots,\beta_t β1,⋯,βt都可以被 A A A线性表示,则称向量组 B {B} B可以由 A A A线性表示
向量组用另一个向量组表示
若 B B B可以由 A A A线性表示,则对 B B B的每个向量 β j ( j 1 , 2 , ⋯ , t ) \beta_j(j1,2,\cdots,t) βj(j1,2,⋯,t)存在 s s s维向量 K j ( k 1 j , k 2 j , ⋯ , k s j ) T K_j(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^T Kj(k1j,k2j,⋯,ksj)T使得: β j \beta_j βj ∑ i 1 s k i j α i \sum\limits_{i1}^{s}k_{ij}\alpha_i i1∑skijαi ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) ( k 1 j , k 2 j , ⋯ , k s j ) T (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s)(k_{1j},k_{2j},\cdots,k_{sj})^T (α1,α2,⋯,αs)(k1j,k2j,⋯,ksj)T; ( j 1 , 2 , ⋯ , t ) (j1,2,\cdots,t) (j1,2,⋯,t)这种表出关系中涉及两个向量组 A , B A,B A,B,分别是表示向量组和被表示向量组
线性表示的系数矩阵 根据分块矩阵乘法 ( A B 1 , A B 2 , ⋯ , A B s ) (AB_1,AB_2,\cdots,AB_s) (AB1,AB2,⋯,ABs) A ( B 1 , B 2 , ⋯ , B s ) A(B_1,B_2,\cdots,B_s) A(B1,B2,⋯,Bs)有: ( β 1 , ⋯ , β t ) ( α 1 , α 2 , ⋯ , α s ) ( k 11 k 12 ⋯ k 1 t k 21 k 22 ⋯ k s t ⋮ ⋮ ⋮ k s 1 k s 2 ⋯ k s t ) (\beta_1,\cdots,\beta_t) (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_s) \begin{pmatrix} k_{11}k_{12}\cdotsk_{1t}\\ k_{21}k_{22}\cdotsk_{st}\\ \vdots\vdots\vdots\\ k_{s1}k_{s2}\cdotsk_{st} \end{pmatrix} (β1,⋯,βt)(α1,α2,⋯,αs) k11k21⋮ks1k12k22⋮ks2⋯⋯⋯k1tkst⋮kst 其中矩阵 K s × t ( k i j ) K_{s\times{t}}(k_{ij}) Ks×t(kij)称为 A A A线性表示 B {B} B的系数矩阵
矩阵乘法与线性表出
若 C m × n C_{m\times{n}} Cm×n A m × l B l × n A_{m\times{l}}B_{l\times{n}} Am×lBl×n,则
列向量组线性表示 C C C的列向量组能够由矩阵 A A A的列向量组线性表示,且 B B B为这一表示的系数矩阵: ( c 1 , c 2 , ⋯ , c n ) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a l ) ( b 11 b 12 ⋯ b 1 n b 21 b 22 ⋯ b 2 n ⋮ ⋮ ⋮ b l 1 b l 2 ⋯ b l n ) (\bold{c}_1,\bold{c}_2,\cdots,\bold{c}_n) (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_l) \begin{pmatrix} b_{11}b_{12}\cdotsb_{1n}\\ b_{21}b_{22}\cdotsb_{2n}\\ \vdots\vdots\vdots\\ b_{l1}b_{l2}\cdotsb_{ln} \end{pmatrix} (c1,c2,⋯,cn)(a1,a2,⋯,al) b11b21⋮bl1b12b22⋮bl2⋯⋯⋯b1nb2n⋮bln
行向量组线性表示 同时 C C C的行向量组能由 B B B的行向量组线性表示,且 A A A为这一表示的系数矩阵 ( γ 1 T γ 2 T ⋮ γ m T ) ( a 11 a 12 ⋯ a 1 l a 21 a 22 ⋯ a 2 l ⋮ ⋮ ⋮ a m l a m 2 ⋯ a m l ) ( β 1 T β 2 T ⋮ β l T ) \begin{pmatrix} \gamma_1^T\\ \gamma_2^T\\ \vdots\\ \gamma_m^T \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a_{11}a_{12}\cdotsa_{1l}\\ a_{21}a_{22}\cdotsa_{2l}\\ \vdots\vdots\vdots\\ a_{ml}a_{m2}\cdotsa_{ml} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \beta_1^T\\ \beta_2^T\\ \vdots\\ \beta_l^T \end{pmatrix} γ1Tγ2T⋮γmT a11a21⋮amla12a22⋮am2⋯⋯⋯a1la2l⋮aml β1Tβ2T⋮βlT γ i T \gamma_{i}^T γiT ∑ k 1 l a i k β k T \sum_{k1}^{l}a_{ik}\beta_{k}^T ∑k1laikβkT, i 1 , 2 ⋯ , m i1,2\cdots,m i1,2⋯,m
向量组等价
若两个向量组 A A A和 B B B可以相互线性表示,则称 A , B A,B A,B两个向量组等价记为 A ≅ B A\cong{B} A≅B 若两个向量组 B B B可通过 A A A中的向量调整顺序得到,则显然地 A , B A,B A,B可以相互线性表出(表出系数为全1向量),同时有 B ≅ A B\cong{A} B≅A若 B B B是 A A A的一个部分组,则 B B B显然可以被 A A A线性表示,表出系数为仅包含 0 , 1 0,1 0,1的向量
向量组等价的性质
反身性:每个向量组和自身等价 A ≅ A A\cong A A≅A对称性: A ≅ B ⇒ B ≅ A A\cong{B}\Rightarrow{{B}\cong{A}} A≅B⇒B≅A传递性: A ≅ B , B ≅ C ⇒ A ≅ C A\cong{B},{B}\cong{C}\Rightarrow{A\cong{C}} A≅B,B≅C⇒A≅C
推论
若 A B AB AB,则
等价矩阵与向量组等价的关系
行等价矩阵的行向量组等价
设矩阵 A ∼ r B A\overset{r}{\sim}{B} A∼rB,即矩阵 A A A经过初等行变换可以变成矩阵 B B B,即存在可逆矩阵 P P P使得 B P A BPA BPA;由矩阵乘法和线性表示的关系, B B B的行向量组可以被 A A A的行向量组线性,且表示系数矩阵 P P P反之 P − 1 B A P^{-1}BA P−1BA,所以 A A A的行向量组可以被 B B B的行向量组线性表示,且表示系数矩阵为 P − 1 P^{-1} P−1可见 A , B A,B A,B可以相互表示,从而 A , B A,B A,B;两个向量组等价 ( A ≅ B ) (A\cong{B}) (A≅B)
列等价矩阵的列向量组
类似的,若 A ∼ c B A\overset{c}{\sim}B A∼cB,则 A ≅ B A\cong{B} A≅B
小结
若 A ∼ B \bold{A}\sim{\bold{B}} A∼B,则 A ≅ B A\cong{B} A≅B但是逆命题不成立,因为对于 C B A CBA CBA, A , B A,B A,B不一定是可逆矩阵
向量组等价和矩阵等价的比较
向量组等价在于相互表示矩阵等价在于可以通过初等变换相互转换
概念迁移:线性方程组之间的等价
向量组的**线性组合**,线性表示以及等价等概念可以迁移到线性方程组上
方程组的线性组合
线性方程组中的线性方程对应于一个行向量对方程组 A A A的各个方程作线性运算得到的新方程称为方程组 A A A的一个线性组合
方程组被另一个方程组线性表示
若方程组 B B B的每个方程都是方程组 A A A的线性组合,则称方程组 B B B能由方程组 A A A线性表示
方程组等价
若方程组 A , B A,B A,B能相互线性表示,则 A , B A,B A,B可以互推,可互推的线性方程组相也称它们等价
线性方程组同解问题
方程组 A A A的解一定是方程组 B B B的解,反之则不一定成立(方程组 B B B的部分解和方程组 A A A的解重合) A A A是 B B B的充分条件, B B B是 A A A的必要条件,这也说明, A A A的解一定满足 B B B,但是 B B B的解可能仅满足 A A A的部分条件 可互推的线性线性方程组一定是同解的
向量组可被另一个向量组线性表示判定定理
分析
以列向量组为例讨论;行向量组类似有相同的结论向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l B:b1,b2,⋯,bl能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m A:a1,a2,⋯,am线性表示,其含义是存在矩阵 K m × l K_{m\times{l}} Km×l,使得 ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l) (b1,b2,⋯,bl) ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) K (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)K (a1,a2,⋯,am)K成立也是矩阵方程 ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) X (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m)\bold{X} (a1,a2,⋯,am)X ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) (\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l) (b1,b2,⋯,bl)有解, X X X就是 B B B线性表示 A A A的表示系数矩阵 记 A \bold{A} A ( a 1 , a 2 , ⋯ , a m ) (\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m) (a1,a2,⋯,am); B ( b 1 , b 2 , ⋯ , b l ) \bold{B}(\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l) B(b1,b2,⋯,bl),矩阵方程作 A X B \bold{AXB} AXB则 R ( A ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{A},\bold{B}) R(A)R(A,B)是方程有解的充要条件
定理
向量组 B : b 1 , b 2 , ⋯ , b l B:\bold{b}_1,\bold{b}_2,\cdots,\bold{b}_l B:b1,b2,⋯,bl能由向量组 A : a 1 , a 2 , ⋯ , a m A:\bold{a}_1,\bold{a}_2,\cdots,\bold{a}_m A:a1,a2,⋯,am线性表示的充要条件是矩阵 R ( A ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{A},\bold{B}) R(A)R(A,B) 对于行向量组,相当于判定 B X A BXA BXA是否有解,这个问题可以转换为列向量组,即利用转置运算转换为 B T A T X T B^TA^TX^T BTATXT,而判定条件 R ( A T ) R ( A T , B T ) R(\bold{A^T})R(\bold{A^T,B^T}) R(AT)R(AT,BT),等价于 R ( A ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{A},\bold{B}) R(A)R(A,B)
推论:两向量组等价的充要条件
由上述定理: 向量组 A A A能由 B B B线性表示,则 R ( A ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{A,B}) R(A)R(A,B)向量组 B B B能由 A A A线性表示,则 R ( B ) R ( B , A ) R(\bold{B})R(\bold{B,A}) R(B)R(B,A) 此外由初等列变换中的列交换有 ( A , B ) ∼ c ( B , A ) (\bold{A,B})\overset{c}{\sim}\bold{(B,A)} (A,B)∼c(B,A),所以 R ( A , B ) R(\bold{A,B}) R(A,B) R ( B , A ) R(\bold{B,A}) R(B,A)两向量组 A , B A,B A,B等价的充要条件是 R ( A ) R ( B ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{B})R(\bold{A,B}) R(A)R(B)R(A,B)
向量组的矩阵秩间关系
设向量组 B B B能由向量组 A A A线性表示,则 R ( B ) ⩽ R ( A ) R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})} R(B)⩽R(A)证明: 由于 B B B能被 A A A线性表示,则 R ( A ) R ( A , B ) R(\bold{A})R(\bold{A,B}) R(A)R(A,B)又由分块矩阵秩的性质: R ( B ) ⩽ R ( A , B ) R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A,B})} R(B)⩽R(A,B)所以 R ( B ) ⩽ R ( A ) R(\bold{B})\leqslant{R(\bold{A})} R(B)⩽R(A) 结论表明,被表示向量组的矩阵的秩小等于表示向量组的矩阵的秩形象的理解该结论 : B :B :B能够被 A A A表示(代替掉),说明 B B B的内涵(秩)不超过 A A A
矩阵方法
用矩阵来表述问题,并通过矩阵的运算结局问题的方法通常叫做矩阵方法,是线性代数的基本方法例如,将向量组的问题表述称矩阵形式,通过矩阵的运算来得出结果,在把矩阵形式的结果翻译成几何语言问题的结论以下三种表述是对应等价的 向量组 B B B能由向量组 A A A线性表示(几何语言)存在矩阵 K \bold{K} K,使得 B A K \bold{BAK} BAK(矩阵语言)方程 A X B \bold{AXB} AXB有解(矩阵语言)
n维单位坐标向量 n n n阶单位矩阵 E n \bold{E}_n En ( e 1 , ⋯ , e n ) (\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n) (e1,⋯,en)的列向量称为** n n n维单位坐标向量**设 n n n维向量组 A : a 1 , ⋯ , a m A:\bold{a_1},\cdots,\bold{a_m} A:a1,⋯,am构成 n × m n\times{m} n×m矩阵 A \bold{A} A;易知 R ( A ) ⩽ n R(\bold{A})\leqslant{n} R(A)⩽n结论: n n n维单位坐标向量 E n : e 1 , ⋯ , e n E_n:\bold{e}_1,\cdots,\bold{e}_n En:e1,⋯,en都能由向量组 A A A线性表示的充要条件是 R ( A ) n R(\bold{A})n R(A)n(几何语言描述,描述中不直接涉及矩阵运算)证明: E n E_n En能被 A A A线性表示,则 E A X \bold{EAX} EAX有解 等价于: R ( A ) R ( A , E ) R(\bold{A})R(\bold{A,E}) R(A)R(A,E);而 R ( A , E ) ⩾ R ( E ) n R(\bold{A,E})\geqslant{R(\bold E)n} R(A,E)⩾R(E)n, ( A , E ) (\bold{A,E}) (A,E)仅有 n n n行,即 R ( A , E ) ⩽ n R(\bold{A,E})\leqslant{n} R(A,E)⩽n;综上 R ( A , E ) n R(\bold{A,E})n R(A,E)n,所以: R ( A ) R(\bold{A}) R(A) n n n 结论用矩阵语言描述(描述中包含矩阵运算):对矩阵 A n × m \bold{A}_{n\times{m}} An×m,存在矩阵 K m × n \bold{K}_{m\times{n}} Km×n,使得 A K E n \bold{AK}\bold{E}_n AKEn的充要条件是 R ( A ) n R(\bold{A})n R(A)n 或 A X E n \bold{AX}\bold{E}_n AXEn有解的充要条件是 R ( A ) n R(\bold{A})n R(A)n
